(a) O que significa conceitualmente o produto escalar,
?
(b) O que significa conceitualmente o produto vetorial,
?
© O que é um versor?
(d) Quais as relações matemáticas entre os versores
que definem o produto escalar e as relações que definem o produto vetorial?
(b) O que significa conceitualmente o produto vetorial,
© O que é um versor?
(d) Quais as relações matemáticas entre os versores
Passo 1
Beleza, o exercício fala de quatro coisas: o produto escalar
, o produto vetorial
, o que é versor e as regras de dot e cross pros versores
. O conteúdo aqui é álgebra vetorial básica: entender geometria por trás dos produtos entre vetores e a definição de vetores unitários (versores). Vamos precisar lembrar do ângulo entre vetores, projeções e regra da mão direita.
Passo 2
(a) Produto escalar
Teoria: o produto escalar mede “quanto um vetor contribui na direção do outro”.
Fórmula:
Teoria: o produto escalar mede “quanto um vetor contribui na direção do outro”.
Fórmula:
onde
é o ângulo entre
e
.
Explicando como amigo: imagina que você projeta em cima de
; o tamanho dessa projeção vezes o comprimento de
é exatamente o dot. Se
, cos θ=1, os vetores estão paralelos e o dot é máximo. Se
, cos θ=0 e o dot é zero (vetores perpendiculares não “conversam”).
Explicando como amigo: imagina que você projeta
Passo 3
(b) Produto vetorial
Teoria: o produto vetorial gera um vetor perpendicular ao plano de e
, com magnitude proporcional à “área” do paralelogramo que eles formam.
Fórmula:
Teoria: o produto vetorial gera um vetor perpendicular ao plano de
Fórmula:
e a direção vem da regra da mão direita (polegar aponta na direção do resultado).
Explicando: imagine o “retângulo” formado por e
; a área desse retângulo é
. O vetor resultante tem esse tamanho e fica perpendicular ao plano deles, seguindo a mão direita.
Explicando: imagine o “retângulo” formado por
Passo 4
© Versor
Teoria: versor é só outro nome para “vetor unitário”, ou seja, vetor de módulo 1 que indica direção.
Explicando: pense num indicador de direção puro, sem tamanho além de 1. No nosso sistema cartesiano, aponta em
,
em
e
em
, todos com comprimento 1.
Teoria: versor é só outro nome para “vetor unitário”, ou seja, vetor de módulo 1 que indica direção.
Explicando: pense num indicador de direção puro, sem tamanho além de 1. No nosso sistema cartesiano,
Passo 5
(d) Relações entre
Dot product:
Dot product:
Cross product (regra cíclica da mão direita):
e invertendo a ordem muda o sinal, tipo
.
Resposta
(a)
, que mede projeção de um no outro.
(b) é um vetor perpendicular com
e direção pela mão direita.
© Versor = vetor unitário ( ), indica só direção.
(d) Para :
• Dot: , produtos mistos = 0.
• Cross: ,
,
(e sinal invertido se trocar ordem).
(b)
© Versor = vetor unitário (
(d) Para
• Dot:
• Cross: