(a) O que significa conceitualmente o produto escalar, a cdot b ?
(b) O que significa conceitualmente o produto vetorial, a times b ?
© O que é um versor?
(d) Quais as relações matemáticas entre os versores i, j, k que definem o produto escalar e as relações que definem o produto vetorial?

Passo 1

Beleza, o exercício fala de quatro coisas: o produto escalar , o produto vetorial , o que é versor e as regras de dot e cross pros versores . O conteúdo aqui é álgebra vetorial básica: entender geometria por trás dos produtos entre vetores e a definição de vetores unitários (versores). Vamos precisar lembrar do ângulo entre vetores, projeções e regra da mão direita.

Passo 2

(a) Produto escalar vec a cdot vec b = |vec a|,|vec b|,costheta,
Teoria: o produto escalar mede “quanto um vetor contribui na direção do outro”.
Fórmula:
onde é o ângulo entre e .
Explicando como amigo: imagina que você projeta em cima de ; o tamanho dessa projeção vezes o comprimento de é exatamente o dot. Se , cos θ=1, os vetores estão paralelos e o dot é máximo. Se , cos θ=0 e o dot é zero (vetores perpendiculares não “conversam”).

Passo 3

(b) Produto vetorial |vec a times vec b| = |vec a|,|vec b|,sintheta,
Teoria: o produto vetorial gera um vetor perpendicular ao plano de e , com magnitude proporcional à “área” do paralelogramo que eles formam.
Fórmula:
e a direção vem da regra da mão direita (polegar aponta na direção do resultado).
Explicando: imagine o “retângulo” formado por e ; a área desse retângulo é . O vetor resultante tem esse tamanho e fica perpendicular ao plano deles, seguindo a mão direita.

Passo 4

© Versor
Teoria: versor é só outro nome para “vetor unitário”, ou seja, vetor de módulo 1 que indica direção.
Explicando: pense num indicador de direção puro, sem tamanho além de 1. No nosso sistema cartesiano, aponta em , em e em , todos com comprimento 1.

Passo 5

(d) Relações entre hatimathcdothatimath=1, hatjmathcdothatjmath=1, hat kcdothat k=1,
Dot product:
hatimathcdothatjmath=0, hatjmathcdothat k=0, hat kcdothatimath=0
hatimathtimeshatjmath=hat k, hatjmathtimeshat k=hatimath, hat ktimeshatimath=hatjmath,
Cross product (regra cíclica da mão direita):
e invertendo a ordem muda o sinal, tipo
.

Resposta

(a) , que mede projeção de um no outro.
(b) é um vetor perpendicular com e direção pela mão direita.
© Versor = vetor unitário ( ), indica só direção.
(d) Para :
• Dot: , produtos mistos = 0.
• Cross: , , (e sinal invertido se trocar ordem).

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