Abaixo temos as equações de Maxwell na sua forma integral:
Utilize dos dois teoremas fundamentais do cálculo vetorial, o teorema de Gauss e o teorema de Stokes, para escrevê-las na sua forma diferencial (no vácuo). Lembrando que:
e
. (Valor: 2,0 pontos)
Passo 1
O enunciado fornece as quatro equações de Maxwell em forma integral e pede para, usando o teorema de Gauss e o teorema de Stokes, escrevê-las na forma diferencial (no vácuo). Vamos aplicar o teorema de Gauss às duas primeiras e o teorema de Stokes às duas últimas.
Passo 2
Aplicando o teorema de Gauss à lei de Gauss para o campo elétrico
sabendo que
e que o teorema de Gauss diz
iguais os dois lados sobre um volume arbitrário, obtemos
Passo 3
Aplicando o teorema de Gauss à lei de Gauss do magnetismo
temos pelo teorema de Gauss
para qualquer volume, o que implica
Passo 4
Aplicando o teorema de Stokes à lei de Ampère–Maxwell
onde
e
. Pelo teorema de Stokes,
Igualando os integrandos em uma superfície arbitrária, surge
Passo 5
Aplicando o teorema de Stokes à lei de Faraday
onde
. Pelo teorema de Stokes,
Assim, para qualquer superfície, concluímos