Abaixo temos as equações de Maxwell na sua forma integral:
\begin{aligned} & \oint \vec{E} \cdot d \vec{S}=\frac{q}{\varepsilon_{0}} \cdot(\text { lei de Gauss }) \\\ & \oint \vec{B} \cdot d \vec{S}=0 \quad(\text { lei de Gauss do Magnetismo }) \\\ & \oint \vec{B} \cdot d \vec{l}=\mu_{0} i+\mu_{0} \varepsilon_{0} \frac{\partial \phi_{E}}{\partial t} \quad(\text { lei de Ampère generalizada }) \\\ & \oint \vec{E} \cdot d \vec{l}=-\frac{\partial \phi_{B}}{\partial t} \quad(\text { lei de indução de Faraday }) \end{aligned}èçã
Utilize dos dois teoremas fundamentais do cálculo vetorial, o teorema de Gauss e o teorema de Stokes, para escrevê-las na sua forma diferencial (no vácuo). Lembrando que: q=\int \rho d V e i=\int \vec{J} \cdot \hat{n} d S. (Valor: 2,0 pontos)

Passo 1

O enunciado fornece as quatro equações de Maxwell em forma integral e pede para, usando o teorema de Gauss e o teorema de Stokes, escrevê-las na forma diferencial (no vácuo). Vamos aplicar o teorema de Gauss às duas primeiras e o teorema de Stokes às duas últimas.

Passo 2

Aplicando o teorema de Gauss à lei de Gauss para o campo elétrico
\oint \vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{q}{\varepsilon_{0}}
sabendo que q=\displaystyle\int \rho\,dV e que o teorema de Gauss diz
\oint \vec{E}\cdot d\vec{S} = \int (\nabla\cdot\vec{E})\,dV,
iguais os dois lados sobre um volume arbitrário, obtemos
\int (\nabla\cdot\vec{E})\,dV = \frac{1}{\varepsilon_{0}}\int \rho\,dV \quad\Longrightarrow\quad \nabla\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_{0}}.

Passo 3

Aplicando o teorema de Gauss à lei de Gauss do magnetismo
\oint \vec{B}\cdot d\vec{S}=0,
temos pelo teorema de Gauss
\oint \vec{B}\cdot d\vec{S} = \int (\nabla\cdot\vec{B})\,dV = 0
para qualquer volume, o que implica
\nabla\cdot\vec{B} = 0.

Passo 4

Aplicando o teorema de Stokes à lei de Ampère–Maxwell
\oint \vec{B}\cdot d\vec{l} = \mu_{0}\,i \;+\;\mu_{0}\,\varepsilon_{0}\,\frac{\partial \phi_{E}}{\partial t},
onde i=\displaystyle\int \vec{J}\cdot\hat{n}\,dS e \phi_{E}=\int \vec{E}\cdot d\vec{S}. Pelo teorema de Stokes,
\oint \vec{B}\cdot d\vec{l} = \int (\nabla\times\vec{B})\cdot d\vec{S}, \quad i = \int \vec{J}\cdot d\vec{S}, \quad \frac{\partial \phi_{E}}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t}\int \vec{E}\cdot d\vec{S} = \int \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\cdot d\vec{S}.
Igualando os integrandos em uma superfície arbitrária, surge
\nabla\times\vec{B} = \mu_{0}\,\vec{J} \;+\;\mu_{0}\,\varepsilon_{0}\,\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}.

Passo 5

Aplicando o teorema de Stokes à lei de Faraday
\oint \vec{E}\cdot d\vec{l} = -\,\frac{\partial \phi_{B}}{\partial t},
onde \phi_{B}=\int \vec{B}\cdot d\vec{S}. Pelo teorema de Stokes,
\oint \vec{E}\cdot d\vec{l} = \int (\nabla\times\vec{E})\cdot d\vec{S}, \quad \frac{\partial \phi_{B}}{\partial t} = \int \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\cdot d\vec{S}.
Assim, para qualquer superfície, concluímos
\nabla\times\vec{E} = -\,\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}.

Resposta

\displaystyle\nabla\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_{0}} \displaystyle\nabla\cdot\vec{B} = 0 \displaystyle\nabla\times\vec{B} = \mu_{0}\,\vec{J} + \mu_{0}\,\varepsilon_{0}\,\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \displaystyle\nabla\times\vec{E} = -\,\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}

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