1. \int \frac{d x}{x^{2}-6 x+5}. Resp. \frac{1}{4} \log \left|\frac{x-5}{x-1}\right|+C.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{d x}{x^{2}-6x+5}.
Informações dadas e objetivo:
  • Temos um integrando que é uma fração racional cujo denominador é o polinômio quadrático \,x^{2}-6x+5.
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{1}{x^{2}-6x+5}.
  • A resposta final deve ser uma expressão explícita em termos de x mais uma constante de integração C.

Passo 2

Primeiro passo concreto: fatorar o denominador, porque integrar uma fração racional fica muito mais simples quando o denominador é produto de fatores lineares. Vamos fatorar
x^{2}-6x+5.
Para fatorar, procuramos dois números cujo produto seja 5 e cuja soma seja -6. Esses números são -1 e -5. Portanto o polinômio se fatoriza como
x^{2}-6x+5=(x-1)(x-5).

Passo 3

Agora aplicamos a técnica de frações parciais: escrever a fração como soma de frações simples. Como o denominador é produto de dois fatores lineares distintos, existe representação
\frac{1}{(x-1)(x-5)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-5},
onde A e B são constantes a determinar. Esta decomposição é útil porque a integral de 1/(x-a) é uma função logarítmica simples.

Passo 4

Determinar A e B. Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x-5) obtemos a identidade em x:
1 = A(x-5)+B(x-1).
Podemos achar A e B de maneira rápida usando valores convenientes de x:
  • Tomando x=1:
1 = A(1-5)+B(0)\quad\Rightarrow\quad 1 = A(-4)\quad\Rightarrow\quad A = -\tfrac{1}{4}.
  • Tomando x=5:
1 = A(0)+B(5-1)\quad\Rightarrow\quad 1 = B\cdot 4\quad\Rightarrow\quad B = \tfrac{1}{4}.
Logo a decomposição é
\frac{1}{(x-1)(x-5)} = -\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x-1} + \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x-5}.

Passo 5

Agora integramos termo a termo. Lembrete da fórmula básica: para qualquer constante a,
\int \frac{d x}{x-a} = \ln|x-a| + C,
porque a derivada de \ln|x-a| é 1/(x-a). Aplicando isso aos dois termos (e lembrando da constante multiplicativa 1/4):
\int \frac{d x}{x^{2}-6x+5} = \int\left(-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x-1} + \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x-5}\right)dx
= -\frac{1}{4}\int\frac{dx}{x-1} + \frac{1}{4}\int\frac{dx}{x-5}
= -\frac{1}{4}\ln|x-1| + \frac{1}{4}\ln|x-5| + C.

Passo 6

Simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos. Subtrair logs equivale a log do quociente, portanto
-\frac{1}{4}\ln|x-1| + \frac{1}{4}\ln|x-5| = \frac{1}{4}\big(\ln|x-5|-\ln|x-1|\big) = \frac{1}{4}\ln\left|\frac{x-5}{x-1}\right|.
Assim a primitiva fica
\frac{1}{4}\ln\left|\frac{x-5}{x-1}\right| + C.

Passo 7

Verificação rápida (boa prática): derivando a resposta obtida deve-se recuperar o integrando. Derivando
\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{4}\ln\left|\frac{x-5}{x-1}\right|\right] = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{x-5}-\frac{1}{x-1}\right) = \frac{1}{4}\cdot\frac{(x-1)-(x-5)}{(x-1)(x-5)} = \frac{1}{4}\cdot\frac{4}{(x-1)(x-5)} = \frac{1}{(x-1)(x-5)},
o que é justamente \dfrac{1}{x^{2}-6x+5}. Verificação concluída.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}\ln\left|\frac{x-5}{x-1}\right|+C

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