\int \frac{d x}{x^{2}-6 x+5}. Resp. \frac{1}{4} \log \left|\frac{x-5}{x-1}\right|+C.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{d x}{x^{2}-6x+5}.
Informações dadas e objetivo:
Temos um integrando que é uma fração racional cujo denominador é o polinômio quadrático \,x^{2}-6x+5.
O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{1}{x^{2}-6x+5}.
A resposta final deve ser uma expressão explícita em termos de x mais uma constante de integração C.
Passo 2
Primeiro passo concreto: fatorar o denominador, porque integrar uma fração racional fica muito mais simples quando o denominador é produto de fatores lineares. Vamos fatorar
x^{2}-6x+5.
Para fatorar, procuramos dois números cujo produto seja 5 e cuja soma seja -6. Esses números são -1 e -5. Portanto o polinômio se fatoriza como
x^{2}-6x+5=(x-1)(x-5).
Passo 3
Agora aplicamos a técnica de frações parciais: escrever a fração como soma de frações simples. Como o denominador é produto de dois fatores lineares distintos, existe representação
\frac{1}{(x-1)(x-5)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-5},
onde A e B são constantes a determinar. Esta decomposição é útil porque a integral de 1/(x-a) é uma função logarítmica simples.
Passo 4
Determinar A e B. Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x-5) obtemos a identidade em x:
1 = A(x-5)+B(x-1).
Podemos achar A e B de maneira rápida usando valores convenientes de x:
Tomando x=1:
1 = A(1-5)+B(0)\quad\Rightarrow\quad 1 = A(-4)\quad\Rightarrow\quad A = -\tfrac{1}{4}.
Tomando x=5:
1 = A(0)+B(5-1)\quad\Rightarrow\quad 1 = B\cdot 4\quad\Rightarrow\quad B = \tfrac{1}{4}.