(Abdon) Considere uma distribuição de cargas de densidade \rho e volume V no espaço.
(a) Faça a expansão em multipolos.
(b) Encontre a expressão para o mmomento de dipolo para a distribuição.
(c) Encontre a expressão para o momento de quadrupolo da distribuição.
(d) Mostre que o momento de dipolo da distribuição independe da origem do sistema de coordenadas caso a carga líquida seja nula.

Passo 1

O enunciado dá uma distribuição de cargas com densidade \rho(\mathbf{r}) ocupando um volume V no espaço e pede quatro coisas distintas:
  • (a) Fazer a expansão em multipolos (ou seja, escrever a expansão em distância grande |\mathbf{r}| do potencial eletrostático da distribuição, mostrando os termos monopolo, dipolo, quadrupolo, …).
  • (b) Encontrar a expressão para o momento de dipolo da distribuição.
  • (c) Encontrar a expressão para o momento de quadrupolo da distribuição.
  • (d) Mostrar que o momento de dipolo da distribuição independe da escolha da origem do sistema de coordenadas quando a carga total (monopolo) é nula.
Informações relevantes dadas:
  • A densidade de carga é \rho(\mathbf{r}).
  • A distribuição ocupa um volume V (integrou-se sobre V).
  • Não foi dada informação numérica; trata-se de expressões gerais em termos de integrais de \rho.

Passo 2

Começamos escrevendo o potencial elétrico devido à distribuição de carga, que é a quantidade a ser expandida em multipolos. A fórmula do potencial eletrostático (no SI) é
\Phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_V \frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\,d^3r'.
Aqui \mathbf{r} é o ponto de observação (onde avaliamos o potencial) e \mathbf{r}' é o vetor de posição do elemento de volume de carga dentro do volume V.
Queremos a expansão válida quando |\mathbf{r}| é muito maior que as dimensões da região que contém \rho (ou seja, r' \ll r). A ideia é expandir o núcleo 1/|\mathbf{r}-\mathbf{r}'| em potências de r'/r.

Passo 3

Expansão de 1/|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|. Uma forma útil (baseada em polinômios de Legendre) é
\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}=\frac{1}{r}\sum_{\ell=0}^{\infty}\left(\frac{r'}{r}\right)^{\ell}P_{\ell}(\cos\gamma),
onde r=|\mathbf{r}|, r'=|\mathbf{r}'|, \cos\gamma=\hat{\mathbf{r}}\cdot\hat{\mathbf{r}}' e P_{\ell} é o polinômio de Legendre de ordem \ell. Os primeiros três termos ( \ell=0,1,2) são
\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}=\frac{1}{r}+\frac{\hat{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{r}'}{r^{2}}+\frac{1}{2r^{3}}\bigl(3(\hat{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{r}')^{2}-r'^{2}\bigr)+\cdots.
Explico cada termo em palavras rápidas:
  • O termo 1/r é o monopolo.
  • O termo \hat{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{r}'/r^{2} gera o termo dipolar (proporcional ao produto escalar entre \hat r e o vetor posição do elemento de carga).
  • O termo com fator 1/(2r^{3}) é o termo de ordem \ell=2, que dá origem ao termo quadrupolar.

Passo 4

Inserindo essa expansão dentro da integral do potencial e trocando soma com integral, obtemos a expansão multipolar do potencial:
\Phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac{1}{r}\int_V \rho(\mathbf{r}')\,d^3r' \;+\; \frac{1}{r^{2}}\int_V \rho(\mathbf{r}')\,\hat{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{r}'\,d^3r' \;+\; \frac{1}{2r^{3}}\int_V \rho(\mathbf{r}')\bigl(3(\hat{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{r}')^{2}-r'^{2}\bigr)\,d^3r' \;+\;\cdots\right].
Agora identificamos os momentos físicos que aparecem nessas integrais.

Passo 5

Monopolo (termo de ordem 1/r). Definimos a carga total (momento monopolar)
Q=\int_V \rho(\mathbf{r}')\,d^3r'.
Assim o termo monopolo é simplesmente \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q}{r}.

Passo 6

Momento dipolo (termo de ordem 1/r^{2}). Define-se o momento de dipolo vetorial como
\mathbf{p}=\int_V \rho(\mathbf{r}')\,\mathbf{r}'\,d^3r'.
Explicação didática: cada elemento de carga \rho(\mathbf{r}')\,d^3r' contribui com um vetor \mathbf{r}' multiplicado pela carga local; integrando sobre todo o volume obtemos um vetor que mede a “separação de cargas” da distribuição — é isso que chamamos de momento de dipolo. As unidades são Coulomb·metro ( \mathrm{C\cdot m}).
Com essa definição, o termo dipolar do potencial pode ser reescrito como
\Phi_{\text{dip}}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}}}{r^{2}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}{r^{3}}.
(Verifique a equivalência: \mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}}=(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})/r.)

Passo 7

Momento quadrupolo (termo de ordem 1/r^{3}). Há duas convenções comuns; vou apresentar uma forma simétrica e traceless (muito usada) e a forma alternativa baseada em q_{ij}=\int \rho x'_i x'_j d^3r'.
Convenção traceless (comumente chamada de tensor quadrupolar Q_{ij}):
Q_{ij}=\int_V \rho(\mathbf{r}')\bigl(3x'_i x'_j - r'^{2}\delta_{ij}\bigr)\,d^3r',
onde x'_i é a i-ésima componente de \mathbf{r}' e \delta_{ij} é o delta de Kronecker. Essa definição faz o traço \sum_i Q_{ii}=0, por construção. Usando Q_{ij} o termo quadrupolar do potencial fica
\Phi_{\text{quad}}(\mathbf{r})=\frac{1}{8\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r^{3}}\sum_{i,j}Q_{ij}\,\hat r_i\hat r_j,
onde \hat r_i são as componentes do versor \hat{\mathbf{r}}.
Forma alternativa (por vezes mais direta de calcular):
q_{ij}=\int_V \rho(\mathbf{r}')\,x'_i x'_j\,d^3r'.
Com q_{ij} o termo quadrupolar pode ser escrito como
\Phi_{\text{quad}}(\mathbf{r})=\frac{1}{8\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r^{3}}\sum_{i,j}\bigl(3\hat r_i\hat r_j-\delta_{ij}\bigr)q_{ij}.
Essas duas formas estão relacionadas porque Q_{ij}=3q_{ij}-\delta_{ij}\operatorname{tr}(q), onde \operatorname{tr}(q)=\sum_k q_{kk}=\int \rho r'^{2}d^3r'.

Passo 8

Resumo prático da expansão até quadrupolo (colocando tudo junto): para r grande,
\Phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{Q}{r}+\frac{\mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}}}{r^{2}}+\frac{1}{2r^{3}}\int_V \rho(\mathbf{r}')\bigl(3(\hat{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{r}')^{2}-r'^{2}\bigr)\,d^3r' +\cdots\right),
ou, em termos do tensor quadrupolar Q_{ij},
\Phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{Q}{r}+\frac{\mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}}}{r^{2}}+\frac{1}{8\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r^{3}}\sum_{i,j}Q_{ij}\hat r_i\hat r_j+\cdots\right),
lembrando que a expressão com Q_{ij} já incorpora a integral mostrada antes.
(Atenção: na expressão acima a constante \dfrac{1}{8\pi\varepsilon_0} já faz parte do termo escrito com Q_{ij}; é só organização das constantes — o leitor pode preferir escrever todos os termos com o fator \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} em evidência, como fiz antes.)

Passo 9

Propriedade de mudança de origem para o dipolo (item d). Seja a origem inicial O e escolha uma nova origem O' deslocada por um vetor \mathbf{a} (isto é, as coordenadas novas são \mathbf{r}''=\mathbf{r}-\mathbf{a}). Queremos relacionar o momento de dipolo calculado em O' com o calculado em O.
No sistema original o dipolo é
\mathbf{p}=\int_V \rho(\mathbf{r}')\,\mathbf{r}'\,d^3r'.
No sistema deslocado, a posição do mesmo elemento de carga é \mathbf{r}''=\mathbf{r}'-\mathbf{a}, então o dipolo calculado em O' é
\mathbf{p}'=\int_V \rho(\mathbf{r}')\,\mathbf{r}''\,d^3r'=\int_V \rho(\mathbf{r}')(\mathbf{r}'-\mathbf{a})\,d^3r'=\mathbf{p}-\mathbf{a}\underbrace{\int_V \rho(\mathbf{r}')\,d^3r'}_{=Q}.
Portanto
\mathbf{p}'=\mathbf{p}-\mathbf{a}Q.
Dessa relação segue imediatamente que se a carga total Q for zero, então \mathbf{p}'=\mathbf{p}: o momento de dipolo é independente da origem sempre que Q=0. Essa é a demonstração pedida no item (d).

Passo 10

Comentário final breve e encorajador: o procedimento prático na prova é lembrar a fórmula do potencial e a expansão de 1/|\mathbf{r}-\mathbf{r}'| até a ordem desejada; depois identificar as integrais que definem Q, \mathbf{p} e o tensor quadrupolar (ou q_{ij}). Se Q=0, o termo monopolar some e o dipolo domina o campo distante.

Resposta

(a) \displaystyle \Phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac{Q}{r}+\frac{\mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}}}{r^{2}}+\frac{1}{2r^{3}}\int_V \rho(\mathbf{r}')\bigl(3(\hat{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{r}')^{2}-r'^{2}\bigr)\,d^3r'+\cdots\right]
(b) \displaystyle \mathbf{p}=\int_V \rho(\mathbf{r})\,\mathbf{r}\,d^3r
(c) \displaystyle Q_{ij}=\int_V \rho(\mathbf{r})\bigl(3x_i x_j - r^{2}\delta_{ij}\bigr)\,d^3r\quad\text{(tensor quadrupolar traceless)}
alternativamente \displaystyle q_{ij}=\int_V \rho(\mathbf{r})\,x_i x_j\,d^3r com \displaystyle \Phi_{\text{quad}}(\mathbf{r})=\frac{1}{8\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r^{3}}\sum_{i,j}(3\hat r_i\hat r_j-\delta_{ij})q_{ij}.
(d) \displaystyle \mathbf{p}'=\mathbf{p}-\mathbf{a}Q, logo se \displaystyle Q=0 então \displaystyle \mathbf{p}'=\mathbf{p} (independência da origem).

Exercícios relacionados