(Abdon) Considere uma distribuição de cargas de densidade \rho e volume V no espaço.
(a) Faça a expansão em multipolos.
(b) Encontre a expressão para o mmomento de dipolo para a distribuição.
(c) Encontre a expressão para o momento de quadrupolo da distribuição.
(d) Mostre que o momento de dipolo da distribuição independe da origem do sistema de coordenadas caso a carga líquida seja nula.
Passo 1
O enunciado dá uma distribuição de cargas com densidade \rho(\mathbf{r}) ocupando um volume V no espaço e pede quatro coisas distintas:
(a) Fazer a expansão em multipolos (ou seja, escrever a expansão em distância grande |\mathbf{r}| do potencial eletrostático da distribuição, mostrando os termos monopolo, dipolo, quadrupolo, …).
(b) Encontrar a expressão para o momento de dipolo da distribuição.
(c) Encontrar a expressão para o momento de quadrupolo da distribuição.
(d) Mostrar que o momento de dipolo da distribuição independe da escolha da origem do sistema de coordenadas quando a carga total (monopolo) é nula.
Informações relevantes dadas:
A densidade de carga é \rho(\mathbf{r}).
A distribuição ocupa um volume V (integrou-se sobre V).
Não foi dada informação numérica; trata-se de expressões gerais em termos de integrais de \rho.
Passo 2
Começamos escrevendo o potencial elétrico devido à distribuição de carga, que é a quantidade a ser expandida em multipolos. A fórmula do potencial eletrostático (no SI) é
Aqui \mathbf{r} é o ponto de observação (onde avaliamos o potencial) e \mathbf{r}' é o vetor de posição do elemento de volume de carga dentro do volume V.
Queremos a expansão válida quando |\mathbf{r}| é muito maior que as dimensões da região que contém \rho (ou seja, r' \ll r). A ideia é expandir o núcleo 1/|\mathbf{r}-\mathbf{r}'| em potências de r'/r.
Passo 3
Expansão de 1/|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|. Uma forma útil (baseada em polinômios de Legendre) é
onde r=|\mathbf{r}|, r'=|\mathbf{r}'|, \cos\gamma=\hat{\mathbf{r}}\cdot\hat{\mathbf{r}}' e P_{\ell} é o polinômio de Legendre de ordem \ell. Os primeiros três termos (\ell=0,1,2) são
O termo \hat{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{r}'/r^{2} gera o termo dipolar (proporcional ao produto escalar entre \hat r e o vetor posição do elemento de carga).
O termo com fator 1/(2r^{3}) é o termo de ordem \ell=2, que dá origem ao termo quadrupolar.
Passo 4
Inserindo essa expansão dentro da integral do potencial e trocando soma com integral, obtemos a expansão multipolar do potencial:
Explicação didática: cada elemento de carga \rho(\mathbf{r}')\,d^3r' contribui com um vetor \mathbf{r}' multiplicado pela carga local; integrando sobre todo o volume obtemos um vetor que mede a “separação de cargas” da distribuição — é isso que chamamos de momento de dipolo. As unidades são Coulomb·metro (\mathrm{C\cdot m}).
Com essa definição, o termo dipolar do potencial pode ser reescrito como
(Verifique a equivalência: \mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}}=(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})/r.)
Passo 7
Momento quadrupolo (termo de ordem 1/r^{3}). Há duas convenções comuns; vou apresentar uma forma simétrica e traceless (muito usada) e a forma alternativa baseada em q_{ij}=\int \rho x'_i x'_j d^3r'.
Convenção traceless (comumente chamada de tensor quadrupolar Q_{ij}):
onde x'_i é a i-ésima componente de \mathbf{r}' e \delta_{ij} é o delta de Kronecker. Essa definição faz o traço \sum_i Q_{ii}=0, por construção. Usando Q_{ij} o termo quadrupolar do potencial fica
Essas duas formas estão relacionadas porque Q_{ij}=3q_{ij}-\delta_{ij}\operatorname{tr}(q), onde \operatorname{tr}(q)=\sum_k q_{kk}=\int \rho r'^{2}d^3r'.
Passo 8
Resumo prático da expansão até quadrupolo (colocando tudo junto): para r grande,
lembrando que a expressão com Q_{ij} já incorpora a integral mostrada antes.
(Atenção: na expressão acima a constante \dfrac{1}{8\pi\varepsilon_0} já faz parte do termo escrito com Q_{ij}; é só organização das constantes — o leitor pode preferir escrever todos os termos com o fator \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} em evidência, como fiz antes.)
Passo 9
Propriedade de mudança de origem para o dipolo (item d). Seja a origem inicial O e escolha uma nova origem O' deslocada por um vetor \mathbf{a} (isto é, as coordenadas novas são \mathbf{r}''=\mathbf{r}-\mathbf{a}). Queremos relacionar o momento de dipolo calculado em O' com o calculado em O.
Dessa relação segue imediatamente que se a carga total Q for zero, então \mathbf{p}'=\mathbf{p}: o momento de dipolo é independente da origem sempre que Q=0. Essa é a demonstração pedida no item (d).
Passo 10
Comentário final breve e encorajador: o procedimento prático na prova é lembrar a fórmula do potencial e a expansão de 1/|\mathbf{r}-\mathbf{r}'| até a ordem desejada; depois identificar as integrais que definem Q, \mathbf{p} e o tensor quadrupolar (ou q_{ij}). Se Q=0, o termo monopolar some e o dipolo domina o campo distante.