(Alice) Considere um dipolo pontual constituido por duas cargas -q situada na posição \overrightarrow{r^{\prime}} e uma carga q situada na posição \overrightarrow{r^{\prime}}+\vec{l}, sendo \vec{l} o vetor que vai da carga negativa para a positiva. Encontre, em uma posição \vec{r} muito maior que \vec{l} do dipolo simples:
(a) O campo eletrostático do dipolo.
(b) O potencial eletrostático do dipolo.

Passo 1

O enunciado dá:
  • Duas cargas pontuais: uma carga -q localizada em \overrightarrow{r^{\prime}} e uma carga +q localizada em \overrightarrow{r^{\prime}}+\vec{l}.
  • O vetor \vec{l} vai da carga negativa para a positiva.
  • Queremos o campo elétrico e o potencial eletrostático em um ponto \vec{r} tal que \lVert \vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}\rVert \gg \lVert \vec{l}\rVert (ou, em termos mais simples, a distância ao ponto de observação é muito maior que o tamanho do dipolo).
O que o problema pede:
(a) Encontrar o campo eletrostático \vec{E}(\vec r) do dipolo na aproximação de ponto distante (dipolo simples).
(b) Encontrar o potencial eletrostático \Phi(\vec r) do dipolo na mesma aproximação.
Informações relevantes que vamos usar:
  • Lei de Coulomb para potencial de uma carga pontual: \displaystyle \Phi(\vec r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q}{\lVert \vec r-\vec r_0\rVert}.
  • Campo de uma carga pontual: \displaystyle \vec E(\vec r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q\,(\vec r-\vec r_0)}{\lVert \vec r-\vec r_0\rVert^{3}}.
  • Vamos trabalhar na aproximação para pequenos deslocamentos \vec l (expansão até ordem linear em \vec l) e definir o momento de dipolo \vec p como \vec p = q\,\vec l.

Passo 2

Escrevendo o potencial exato (soma das contribuições das duas cargas) em ponto \vec r:
\Phi(\vec r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{q}{\lVert \vec r-(\overrightarrow{r^{\prime}}+\vec l)\rVert}+\dfrac{-q}{\lVert \vec r-\overrightarrow{r^{\prime}}\rVert}\right) =\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{1}{\lVert \vec r-\overrightarrow{r^{\prime}}-\vec l\rVert}-\dfrac{1}{\lVert \vec r-\overrightarrow{r^{\prime}}\rVert}\right).
Observação didática: aqui a primeira parcela é o potencial da carga +q e a segunda é o potencial da carga -q. A constante \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo.
O campo exato é a soma dos campos das duas cargas:
\vec E(\vec r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{q\,(\vec r-(\overrightarrow{r^{\prime}}+\vec l))}{\lVert \vec r-(\overrightarrow{r^{\prime}}+\vec l)\rVert^{3}}+\dfrac{-q\,(\vec r-\overrightarrow{r^{\prime}})}{\lVert \vec r-\overrightarrow{r^{\prime}}\rVert^{3}}\right).

Passo 3

Agora vamos aproximar o potencial para \lVert \vec l\rVert pequeno comparado à distância ao ponto de observação. Para isso fazemos uma expansão em série (Taylor) da função
\displaystyle f(\vec a)=\dfrac{1}{\lVert \vec r-\vec a\rVert}
em torno de \vec a=\overrightarrow{r^{\prime}}, avaliando em \vec a=\overrightarrow{r^{\prime}}+\vec l. A expansão até primeira ordem em \vec l é
f(\overrightarrow{r^{\prime}}+\vec l)\approx f(\overrightarrow{r^{\prime}})+\vec l\cdot\nabla_{\overrightarrow{r^{\prime}}} f(\overrightarrow{r^{\prime}}).
Aplicando essa expansão à diferença do potencial:
\dfrac{1}{\lVert \vec r-(\overrightarrow{r^{\prime}}+\vec l)\rVert}-\dfrac{1}{\lVert \vec r-\overrightarrow{r^{\prime}}\rVert} \approx \vec l\cdot\nabla_{\overrightarrow{r^{\prime}}}\left(\dfrac{1}{\lVert \vec r-\overrightarrow{r^{\prime}}\rVert}\right).
Agora usamos a relação entre gradientes em \vec r e em \overrightarrow{r^{\prime}}:
\nabla_{\overrightarrow{r^{\prime}}}\left(\dfrac{1}{\lVert \vec r-\overrightarrow{r^{\prime}}\rVert}\right) = -\nabla_{\vec r}\left(\dfrac{1}{\lVert \vec r-\overrightarrow{r^{\prime}}\rVert}\right).
E a identidade padrão de cálculo vetorial:
\nabla_{\vec r}\left(\dfrac{1}{\lVert \vec r-\overrightarrow{r^{\prime}}\rVert}\right) = -\dfrac{\vec r-\overrightarrow{r^{\prime}}}{\lVert \vec r-\overrightarrow{r^{\prime}}\rVert^{3}}.
Combinando, obtemos para a diferença:
\dfrac{1}{\lVert \vec r-(\overrightarrow{r^{\prime}}+\vec l)\rVert}-\dfrac{1}{\lVert \vec r-\overrightarrow{r^{\prime}}\rVert} \approx -\vec l\cdot\left(-\dfrac{\vec r-\overrightarrow{r^{\prime}}}{\lVert \vec r-\overrightarrow{r^{\prime}}\rVert^{3}}\right) = \vec l\cdot\dfrac{\vec r-\overrightarrow{r^{\prime}}}{\lVert \vec r-\overrightarrow{r^{\prime}}\rVert^{3}}.
Multiplicando por q/(4\pi\varepsilon_0) e definindo o momento de dipolo
\vec p \equiv q\,\vec l,
temos a expressão aproximada do potencial (ordem linear em \vec l):
\boxed{\displaystyle \Phi(\vec r)\approx \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{\vec p\cdot(\vec r-\overrightarrow{r^{\prime}})}{\lVert \vec r-\overrightarrow{r^{\prime}}\rVert^{3}}.}
Essa é a forma do potencial de um dipolo localizado efetivamente em torno de \overrightarrow{r^{\prime}} (valida quando a separação \vec l é pequena).
Comentário didático: a ideia foi aproximar a diferença entre as potências inversas usando a derivada — isso elimina a monopolaridade (as partes 1/r que se cancelam) e deixa o termo de primeira ordem associado ao dipolo.

Passo 4

Agora fazemos a aproximação adicional pedida no enunciado: o ponto de observação está muito longe do dipolo, ou seja \lVert \vec r\rVert \gg \lVert \overrightarrow{r^{\prime}}\rVert,\\ \lVert \vec l\rVert. Nesse caso podemos aproximar \vec r-\overrightarrow{r^{\prime}}\approx \vec r na potência dominante, obtendo a forma padrão centrada na origem efetiva:
\Phi(\vec r)\approx \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{\vec p\cdot \vec r}{\lVert \vec r\rVert^{3}}.
É comum reescrever usando o versor \hat r=\dfrac{\vec r}{r} e r=\lVert \vec r\rVert:
\boxed{\displaystyle \Phi(\vec r)\approx \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{\vec p\cdot\hat r}{r^{2}}.}
Comentário prático para prova: memorize que o potencial do dipolo em grande distância escala como 1/r^{2} e depende de \vec p\cdot\hat r.

Passo 5

Agora vamos obter o campo elétrico a partir do potencial: \vec E(\vec r) = -\nabla_{\vec r}\Phi(\vec r). Usaremos a forma mais conveniente para derivar:
\Phi(\vec r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{\vec p\cdot\vec r}{r^{3}},\qquad r=\lVert \vec r\rVert.
Derivação passo a passo (aqui \vec p é constante, independe de \vec r):
  1. Calcule \nabla(\vec p\cdot\vec r). Como \vec p é constante,
\nabla(\vec p\cdot\vec r)=\vec p.
  1. Calcule \nabla(r^{-3}). Note que r^{-3}=(\lVert \vec r\rVert)^{-3}. Usando identidade padrão,
\nabla(r^{-3})=-3\,\dfrac{\vec r}{r^{5}}.
  1. Use a regra do produto:
\nabla\!\left(\dfrac{\vec p\cdot\vec r}{r^{3}}\right) = \dfrac{\vec p}{r^{3}} + (\vec p\cdot\vec r)\left(-3\,\dfrac{\vec r}{r^{5}}\right) = \dfrac{\vec p}{r^{3}} - 3\,\dfrac{(\vec p\cdot\vec r)\,\vec r}{r^{5}}.
  1. Multiplicando por -1/(4\pi\varepsilon_0) (pois \vec E=-\nabla\Phi) obtém-se:
\vec E(\vec r) = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left( 3\,\dfrac{(\vec p\cdot\vec r)\,\vec r}{r^{5}} - \dfrac{\vec p}{r^{3}}\right).
Escrevendo usando \hat r=\vec r/r fica a forma clássica:
\boxed{\displaystyle \vec E(\vec r) = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{1}{r^{3}}\left(3(\vec p\cdot\hat r)\,\hat r-\vec p\right).}
Explicação intuitiva e exemplos rápidos:
  • No eixo do dipolo (quando \vec p é paralelo a \hat r) temos \vec p\cdot\hat r = p e então
\vec E=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{2\vec p}{r^{3}} \quad\text{(direção radial)}.çã
  • No plano perpendicular ao dipolo (quando \vec p\cdot\hat r=0) temos
\vec E(\vec r)=-\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{\vec p}{r^{3}} \quad\text{(campo apontando oposto a \(\vec p\)).}

Passo 6

Resumo prático para a prova (como usar as fórmulas rapidamente):
  • Defina \vec p=q\vec l.
  • Para distâncias muito maiores que o tamanho do dipolo, use
\Phi(\vec r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{\vec p\cdot\hat r}{r^{2}} \qquad\text{e}\qquad \vec E(\vec r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{1}{r^{3}}\bigl(3(\vec p\cdot\hat r)\hat r-\vec p\bigr).
  • Lembre: potencial escala como 1/r^{2} e campo como 1/r^{3}. Se precisar do campo em termos de \vec r-\overrightarrow{r^{\prime}} (dipolo deslocado), substituir r por R=\lVert \vec r-\overrightarrow{r^{\prime}}\rVert e \hat r por \widehat{(\vec r-\overrightarrow{r^{\prime}})}.

Resposta

(a) \displaystyle \vec E(\vec r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{1}{r^{3}}\Bigl(3(\vec p\cdot\hat r)\,\hat r-\vec p\Bigr),\quad \text{onde }\vec p=q\vec l,\;r=\lVert\vec r\rVert,\;\hat r=\dfrac{\vec r}{r}.
(b) \displaystyle \Phi(\vec r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{\vec p\cdot\hat r}{r^{2}},\quad \text{onde }\vec p=q\vec l,\;r=\lVert\vec r\rVert,\;\hat r=\dfrac{\vec r}{r}.

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