(Alice) Considere um dipolo pontual constituido por duas cargas -q situada na posição \overrightarrow{r^{\prime}} e uma carga q situada na posição \overrightarrow{r^{\prime}}+\vec{l}, sendo \vec{l} o vetor que vai da carga negativa para a positiva. Encontre, em uma posição \vec{r} muito maior que \vec{l} do dipolo simples:
(a) O campo eletrostático do dipolo.
(b) O potencial eletrostático do dipolo.
Passo 1
O enunciado dá:
Duas cargas pontuais: uma carga -q localizada em \overrightarrow{r^{\prime}} e uma carga +q localizada em \overrightarrow{r^{\prime}}+\vec{l}.
O vetor \vec{l} vai da carga negativa para a positiva.
Queremos o campo elétrico e o potencial eletrostático em um ponto \vec{r} tal que \lVert \vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}\rVert \gg \lVert \vec{l}\rVert (ou, em termos mais simples, a distância ao ponto de observação é muito maior que o tamanho do dipolo).
O que o problema pede:
(a) Encontrar o campo eletrostático \vec{E}(\vec r) do dipolo na aproximação de ponto distante (dipolo simples).
(b) Encontrar o potencial eletrostático \Phi(\vec r) do dipolo na mesma aproximação.
Informações relevantes que vamos usar:
Lei de Coulomb para potencial de uma carga pontual: \displaystyle \Phi(\vec r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q}{\lVert \vec r-\vec r_0\rVert}.
Campo de uma carga pontual: \displaystyle \vec E(\vec r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q\,(\vec r-\vec r_0)}{\lVert \vec r-\vec r_0\rVert^{3}}.
Vamos trabalhar na aproximação para pequenos deslocamentos \vec l (expansão até ordem linear em \vec l) e definir o momento de dipolo \vec p como \vec p = q\,\vec l.
Passo 2
Escrevendo o potencial exato (soma das contribuições das duas cargas) em ponto \vec r:
Observação didática: aqui a primeira parcela é o potencial da carga +q e a segunda é o potencial da carga -q. A constante \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo.
O campo exato é a soma dos campos das duas cargas:
Agora vamos aproximar o potencial para \lVert \vec l\rVert pequeno comparado à distância ao ponto de observação. Para isso fazemos uma expansão em série (Taylor) da função \displaystyle f(\vec a)=\dfrac{1}{\lVert \vec r-\vec a\rVert}
em torno de \vec a=\overrightarrow{r^{\prime}}, avaliando em \vec a=\overrightarrow{r^{\prime}}+\vec l. A expansão até primeira ordem em \vec l é
Essa é a forma do potencial de um dipolo localizado efetivamente em torno de \overrightarrow{r^{\prime}} (valida quando a separação \vec l é pequena).
Comentário didático: a ideia foi aproximar a diferença entre as potências inversas usando a derivada — isso elimina a monopolaridade (as partes 1/r que se cancelam) e deixa o termo de primeira ordem associado ao dipolo.
Passo 4
Agora fazemos a aproximação adicional pedida no enunciado: o ponto de observação está muito longe do dipolo, ou seja \lVert \vec r\rVert \gg \lVert \overrightarrow{r^{\prime}}\rVert,\\ \lVert \vec l\rVert. Nesse caso podemos aproximar \vec r-\overrightarrow{r^{\prime}}\approx \vec r na potência dominante, obtendo a forma padrão centrada na origem efetiva:
Comentário prático para prova: memorize que o potencial do dipolo em grande distância escala como 1/r^{2} e depende de \vec p\cdot\hat r.
Passo 5
Agora vamos obter o campo elétrico a partir do potencial: \vec E(\vec r) = -\nabla_{\vec r}\Phi(\vec r). Usaremos a forma mais conveniente para derivar:
Lembre: potencial escala como 1/r^{2} e campo como 1/r^{3}. Se precisar do campo em termos de \vec r-\overrightarrow{r^{\prime}} (dipolo deslocado), substituir r por R=\lVert \vec r-\overrightarrow{r^{\prime}}\rVert e \hat r por \widehat{(\vec r-\overrightarrow{r^{\prime}})}.