(Sidney) Considere uma região preenchida com uma campo elétrico uniforme dado por \vec{B}. Nesta região é colocada uma casca esférica de raio a e aterrada.
(a) Encontre o campo eltérico em uma posição dista do centro da esfera por r>a.
(b) Encontre a densidade de cargas sobre a superfície da casca.

Passo 1

Vamos entender direitinho o que o enunciado dá e o que pede, sem pular nada.
  • O enunciado diz que existe uma região com um campo elétrico uniforme, cujo vetor é \vec{B}. Vou usar essa mesma notação: \vec{B} é o campo elétrico uniforme no infinito (ou seja, o campo que existiría sem a esfera).
  • Nessa região é colocada uma casca esférica condutora de raio a e aterrada (conectada ao potencial zero).
  • O que pede:
    (a) encontrar o campo elétrico em uma posição que esteja a uma distância r do centro da esfera, com r>a (ou seja, fora da casca);
    (b) encontrar a densidade de cargas \sigma sobre a superfície da casca.
Informações relevantes a usar:
  • A casca é condutora e aterrada, logo o potencial elétrico \Phi na superfície r=a vale zero: \Phi(a,\theta)=0 para todo \theta.
  • Longe da esfera o campo deve tender ao campo uniforme \vec{B}.
  • No espaço sem cargas (fora da casca) o potencial satisfaz a equação de Laplace: \nabla^2 \Phi = 0.
  • Vou escolher o eixo z apontando na direção de \vec{B}. Assim \vec{B}=B\,\hat{z} com B sendo a magnitude (pode ser positiva ou negativa; a direção está em \hat z). Em coordenadas esféricas usarei (r,\theta,\varphi) com \theta o ângulo polar medido a partir do eixo z.

Passo 2

Estratégia matemática (explicando a ideia sem pular passos):
  • Em regime eletrostático, é conveniente trabalhar com o potencial \Phi tal que \vec{E}=-\nabla\Phi.
  • Fora da esfera não há carga volumétrica, então \Phi satisfaz \nabla^2\Phi=0 (equação de Laplace).
  • A geometria e as condições (campo uniforme à distância e esfera com condição de contorno independente de \varphi) indicam solução axissimétrica (dependência só de r e \theta). Nessa situação a solução geral externa (para r\ge a) pode ser escrita como combinação de termos em potências de r e 1/r^{l+1} multiplicados por polinômios de Legendre P_l(\cos\theta): \Phi(r,\theta)=\sum_{l=0}^{\infty}\left(A_l r^l + \frac{B_l}{r^{\,l+1}}\right)P_l(\cos\theta).
  • O campo uniforme à distância é um termo proporcional a r P_1(\cos\theta)=r\cos\theta. Como a única fonte externa é esse campo uniforme, e a superfície impõe condição apenas na fronteira esférica, a solução necessária se reduz ao termo l=1 (o resto dos l\neq1 aparece se houvesse outras fontes assimétricas). Assim podemos assumir um ansatz simples com um termo linear (o campo uniforme) e um termo dipolar decaindo como 1/r^2.

Passo 3

Escrever o ansatz do potencial e aplicar a condição de contorno:
  • Para o campo uniforme \vec{B}=B\hat z o potencial que produz esse campo (escolhendo a convenção \vec{E}=-\nabla\Phi) é \Phi_{\infty} = -B r\cos\theta (porque -\nabla(-B r\cos\theta)=B\hat z).
  • O termo dipolar geral com dependência em \cos\theta é \dfrac{C\cos\theta}{r^2} (que é a forma \dfrac{B_1}{r^{2}}P_1(\cos\theta) com P_1(\cos\theta)=\cos\theta).
  • Então tomo o potencial externo nas forma \Phi(r,\theta) = -B r\cos\theta + \frac{C\cos\theta}{r^2}, \qquad r\ge a,onde C é constante a determinar pela condição de contorno na superfície da esfera.
  • A condição de contorno é a do aterramento: \Phi(a,\theta)=0 para todo \theta. Substituindo: -B a\cos\theta + \frac{C\cos\theta}{a^2}=0.
  • Como isso vale para todo \theta, podemos dividir por \cos\theta (exceto nos polos onde \cos\theta=0, mas a equação se estende por continuidade) e obter -B a + \frac{C}{a^2}=0 \quad\Rightarrow\quad C = B a^3.

Passo 4

Escrever o potencial final e calcular o campo elétrico fora ( r>a):
  • Substituindo C obtemos o potencial para r\ge a:
    \Phi(r,\theta)= -B\cos\theta\!\left(r - \frac{a^3}{r^2}\right).
  • O campo elétrico é \vec{E}=-\nabla\Phi. Em coordenadas esféricas, para uma função do tipo \Phi(r,\theta)=f(r)\cos\theta as componentes não nulas são
    E_r = -\frac{\partial\Phi}{\partial r},\qquad E_\theta = -\frac{1}{r}\frac{\partial\Phi}{\partial\theta}.
    Vou derivar passo a passo.
  • Derivada radial:
    \frac{\partial\Phi}{\partial r} = -B\cos\theta\left(1 - \frac{\partial}{\partial r}\!\left(\frac{a^3}{r^2}\right)\right) = -B\cos\theta\left(1 - \left(-2\frac{a^3}{r^3}\right)\right) = -B\cos\theta\left(1 + 2\frac{a^3}{r^3}\right).
    Assim
    E_r = -\frac{\partial\Phi}{\partial r} = B\cos\theta\left(1 + 2\frac{a^3}{r^3}\right).
  • Derivada angular:
    \frac{\partial\Phi}{\partial\theta} = -B\left(r - \frac{a^3}{r^2}\right)(-\sin\theta) = B\left(r - \frac{a^3}{r^2}\right)\sin\theta.
    Logo
    E_\theta = -\frac{1}{r}\frac{\partial\Phi}{\partial\theta} = -\frac{1}{r}\,B\left(r - \frac{a^3}{r^2}\right)\sin\theta = -B\sin\theta\left(1 - \frac{a^3}{r^3}\right).
  • Portanto o campo elétrico para r>a em componentes esféricas é
    E_r(r,\theta)=B\cos\theta\left(1+2\frac{a^3}{r^3}\right), \qquad E_\theta(r,\theta)=-B\sin\theta\left(1-\frac{a^3}{r^3}\right).
    Em forma vetorial (usando \hat r,\hat\theta):
    \vec{E}(r,\theta)=B\left(1+2\frac{a^3}{r^3}\right)\cos\theta\,\hat r - B\left(1-\frac{a^3}{r^3}\right)\sin\theta\,\hat\theta, \qquad r\ge a.

Passo 5

Interpretação física rápida (útil para a prova) e dipolo induzido:
  • A solução é exatamente a soma do campo uniforme \vec{B} mais o campo de um dipolo elétrico de momento \vec{p} colocado no centro da esfera, com potencial dipolar \Phi_{\rm dip}=\dfrac{\vec{p}\cdot\hat r}{4\pi\varepsilon_0 r^2}.
  • Comparando o termo \dfrac{B a^3\cos\theta}{r^2} com \dfrac{p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^2} obtém-se o momento dipolar induzido \vec{p}=4\pi\varepsilon_0 a^3 \, \vec{B}.Ou seja, a esfera aterrada induz um dipolo proporcional a a^3 e ao campo externo \vec{B}.

Passo 6

Calcular a densidade de carga superficial \sigma(\theta) na casca (resposta da parte b):
  • Em um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico imediatamente fora da superfície está ligado à densidade de carga superficial por \sigma(\theta)=\varepsilon_0\, E_n = \varepsilon_0\, E_r(a,\theta),onde E_n é a componente normal (radial) do campo imediatamente fora da superfície. (Dentro do condutor o campo é zero, então a descontinuidade na componente normal dá a carga superficial.)
  • Avaliando E_r em r=a: E_r(a,\theta)=B\cos\theta\left(1+2\frac{a^3}{a^3}\right)=B\cos\theta(1+2)=3B\cos\theta.
  • Logo \sigma(\theta)=\varepsilon_0\,E_r(a,\theta)=3\varepsilon_0 B\cos\theta.
  • Observação de interpretação: onde \cos\theta>0 (próximo ao polo na direção de \vec{B}) a densidade é positiva; onde \cos\theta<0 (polo oposto) é negativa. A carga total na casca é zero (integrando \sigma sobre a esfera obtém-se zero), como esperado para essa configuração aterrada sem fonte de carga líquida local.

Resposta

\displaystyle \vec{E}(r,\theta)=B\!\left(1+2\frac{a^{3}}{r^{3}}\right)\cos\theta\,\hat r - B\!\left(1-\frac{a^{3}}{r^{3}}\right)\sin\theta\,\hat\theta,\qquad r>a.
\displaystyle \sigma(\theta)=3\varepsilon_{0}B\cos\theta.

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