(Sidney) Considere uma região preenchida com uma campo elétrico uniforme dado por
. Nesta região é colocada uma casca esférica de raio
e aterrada.
(a) Encontre o campo eltérico em uma posição dista do centro da esfera por
.
(b) Encontre a densidade de cargas sobre a superfície da casca.
(a) Encontre o campo eltérico em uma posição dista do centro da esfera por
(b) Encontre a densidade de cargas sobre a superfície da casca.
Passo 1
Vamos entender direitinho o que o enunciado dá e o que pede, sem pular nada.
- O enunciado diz que existe uma região com um campo elétrico uniforme, cujo vetor é
. Vou usar essa mesma notação: é o campo elétrico uniforme no infinito (ou seja, o campo que existiría sem a esfera). - Nessa região é colocada uma casca esférica condutora de raio
e aterrada (conectada ao potencial zero). - O que pede:
(a) encontrar o campo elétrico em uma posição que esteja a uma distânciado centro da esfera, com (ou seja, fora da casca);
(b) encontrar a densidade de cargassobre a superfície da casca.
Informações relevantes a usar:
- A casca é condutora e aterrada, logo o potencial elétrico
na superfície vale zero: para todo . - Longe da esfera o campo deve tender ao campo uniforme
. - No espaço sem cargas (fora da casca) o potencial satisfaz a equação de Laplace:
. - Vou escolher o eixo
apontando na direção de . Assim com sendo a magnitude (pode ser positiva ou negativa; a direção está em ). Em coordenadas esféricas usarei com o ângulo polar medido a partir do eixo .
Passo 2
Estratégia matemática (explicando a ideia sem pular passos):
- Em regime eletrostático, é conveniente trabalhar com o potencial
tal que . - Fora da esfera não há carga volumétrica, então
satisfaz (equação de Laplace). - A geometria e as condições (campo uniforme à distância e esfera com condição de contorno independente de
) indicam solução axissimétrica (dependência só de e ). Nessa situação a solução geral externa (para ) pode ser escrita como combinação de termos em potências de e multiplicados por polinômios de Legendre : - O campo uniforme à distância é um termo proporcional a
. Como a única fonte externa é esse campo uniforme, e a superfície impõe condição apenas na fronteira esférica, a solução necessária se reduz ao termo (o resto dos aparece se houvesse outras fontes assimétricas). Assim podemos assumir um ansatz simples com um termo linear (o campo uniforme) e um termo dipolar decaindo como .
Passo 3
Escrever o ansatz do potencial e aplicar a condição de contorno:
- Para o campo uniforme
o potencial que produz esse campo (escolhendo a convenção ) é (porque ). - O termo dipolar geral com dependência em
é (que é a forma com ). - Então tomo o potencial externo nas forma
onde é constante a determinar pela condição de contorno na superfície da esfera. - A condição de contorno é a do aterramento:
para todo . Substituindo: - Como isso vale para todo
, podemos dividir por (exceto nos polos onde , mas a equação se estende por continuidade) e obter
Passo 4
Escrever o potencial final e calcular o campo elétrico fora (
):
-
Substituindo
obtemos o potencial para : -
O campo elétrico é
. Em coordenadas esféricas, para uma função do tipo as componentes não nulas são Vou derivar passo a passo. -
Derivada radial:Assim
-
Derivada angular:Logo
-
Portanto o campo elétrico para
em componentes esféricas é Em forma vetorial (usando):
Passo 5
Interpretação física rápida (útil para a prova) e dipolo induzido:
- A solução é exatamente a soma do campo uniforme
mais o campo de um dipolo elétrico de momento colocado no centro da esfera, com potencial dipolar . - Comparando o termo
com obtém-se o momento dipolar induzido Ou seja, a esfera aterrada induz um dipolo proporcional a e ao campo externo .
Passo 6
Calcular a densidade de carga superficial
na casca (resposta da parte b):
- Em um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico imediatamente fora da superfície está ligado à densidade de carga superficial por
onde é a componente normal (radial) do campo imediatamente fora da superfície. (Dentro do condutor o campo é zero, então a descontinuidade na componente normal dá a carga superficial.) - Avaliando
em : - Logo
- Observação de interpretação: onde
(próximo ao polo na direção de ) a densidade é positiva; onde (polo oposto) é negativa. A carga total na casca é zero (integrando sobre a esfera obtém-se zero), como esperado para essa configuração aterrada sem fonte de carga líquida local.