Uma corda de comprimento L vibra presa nas suas extremidades x=0 e x=L. O movimento é descrito pela equação de onda
\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=v^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}
Supondo que a soulução seja da forma
u(t, x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}(t) \sin \left(\frac{n \pi x}{L}\right)
determinar os coeficientes b_{n}(t) considerando as condições iniciais
u(0, x)=f(x), \quad \frac{\partial u}{\partial t}(0, x)=g(x)

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudinho para a gente não se perder):
  • A equação de onda
\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=v^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}
para 0<x<L e t\ge0.
  • A corda está presa nas extremidades, ou seja as condições de contorno implicam
u(t,0)=0,\qquad u(t,L)=0\quad\text{(para todo \(t\))}.
  • Supõe-se uma solução na forma de série de senos
u(t,x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}(t)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right),
onde os b_{n}(t) são as funções de t que devemos determinar.
  • Condições iniciais:
u(0,x)=f(x),\qquad \frac{\partial u}{\partial t}(0,x)=g(x),
para 0\le x\le L.
O objetivo é determinar explicitamente as funções b_{n}(t) em termos de f e g.

Passo 2

Substituir a série na equação de onda e calcular derivadas parciais necessárias.
  • Derivada segunda em relação a t:
\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}''(t)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right).
  • Derivada segunda em relação a x: usar que \dfrac{d^{2}}{dx^{2}}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)=-\left(\frac{n\pi}{L}\right)^{2}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right). Assim
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}(t)\left[-\left(\frac{n\pi}{L}\right)^{2}\right]\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right).
  • Substituindo na PDE obtemos
\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}''(t)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right) = v^{2}\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}(t)\left[-\left(\frac{n\pi}{L}\right)^{2}\right]\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right).
  • Reorganizando:
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(b_{n}''(t)+\omega_{n}^{2}b_{n}(t)\Bigr)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)=0,
onde definimos
\omega_{n}:=\frac{v n\pi}{L}.

Passo 3

Explicar e usar a propriedade de ortogonalidade dos senos para isolar cada coeficiente.
  • Identidade trigonométrica útil:
\sin A\sin B=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(A-B)-\cos(A+B)\bigr).
  • Integração das senóides no intervalo [0,L]\) dá \[\int_{0}^{L}\sin\!\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx =\begin{cases} 0, & m\ne n,\\[4pt] \dfrac{L}{2}, & m=n. \end{cases}
Explicação curta: para m\ne n\] as integrais de cossenos com frequências não nulas somam zero; para \(m=n a identidade gera \int_{0}^{L}\tfrac{1}{2}\,dx=\tfrac{L}{2}.
  • Essa ortogonalidade permite que, ao multiplicar a série por \sin\!\left(\dfrac{m\pi x}{L}\right) e integrar x de 0 a L, apenas o termo n=m sobreviva.]

Passo 4

Isolar a equação diferencial para cada b_{n}(t).
  • Multiplicar a igualdade
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(b_{n}''(t)+\omega_{n}^{2}b_{n}(t)\Bigr)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)=0
por \sin\!\left(\dfrac{m\pi x}{L}\right) e integrar em x de 0 a L. Pelas contas de ortogonalidade,
\Bigl(b_{m}''(t)+\omega_{m}^{2}b_{m}(t)\Bigr)\cdot\frac{L}{2}=0.
  • Portanto, para cada n\ge1 obtemos a equação ordinária
b_{n}''(t)+\omega_{n}^{2}b_{n}(t)=0, \qquad\text{com}\qquad \omega_{n}=\frac{v n\pi}{L}.
  • Comentário didático: cada b_{n}(t) satisfaz a equação de um oscilador harmônico simples com pulsação \omega_{n}. Essas são as “modos normais” da corda.

Passo 5

Resolver a equação ordinária geral e impor as condições iniciais para encontrar as constantes.
  • A equação
b_{n}''(t)+\omega_{n}^{2}b_{n}(t)=0
tem solução geral
b_{n}(t)=A_{n}\cos(\omega_{n}t)+B_{n}\sin(\omega_{n}t),
onde A_{n} e B_{n} são constantes a determinar a partir das condições iniciais.
  • Usar u(0,x)=f(x). Avaliando a série em t=0:
f(x)=u(0,x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}(0)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right).
Comparando com a série de senos para f, obtemos
b_{n}(0)=A_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(s)\sin\!\left(\frac{n\pi s}{L}\right)\,ds.
  • Usar \dfrac{\partial u}{\partial t}(0,x)=g(x). Diferenciando a série em t:
\frac{\partial u}{\partial t}(t,x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}'(t)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right).
Em t=0 temos g(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}'(0)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right). Logo
b_{n}'(0)=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} g(s)\sin\!\left(\frac{n\pi s}{L}\right)\,ds.
  • Relacionando b_{n}'(0) com A_{n},B_{n}: como
b_{n}'(t)=-A_{n}\omega_{n}\sin(\omega_{n}t)+B_{n}\omega_{n}\cos(\omega_{n}t),
temos em t=0
b_{n}'(0)=B_{n}\omega_{n}.
Portanto
B_{n}=\frac{b_{n}'(0)}{\omega_{n}} =\frac{1}{\omega_{n}}\cdot\frac{2}{L}\int_{0}^{L} g(s)\sin\!\left(\frac{n\pi s}{L}\right)\,ds.
  • Observação: como \omega_{n}=\dfrac{v n\pi}{L}, a constante B_{n} pode ser escrita de forma mais simples como
B_{n}=\frac{2}{v n\pi}\int_{0}^{L} g(s)\sin\!\left(\frac{n\pi s}{L}\right)\,ds.

Passo 6

Escrever a expressão final para b_{n}(t) e para a solução u(t,x), explicando os termos.
  • Com as constantes A_{n} e B_{n} encontradas, para todo n\ge1
b_{n}(t)=\underbrace{\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(s)\sin\!\left(\frac{n\pi s}{L}\right)\,ds}_{A_{n}}\cos\!\left(\frac{v n\pi}{L}\,t\right) +\underbrace{\frac{2}{v n\pi}\int_{0}^{L} g(s)\sin\!\left(\frac{n\pi s}{L}\right)\,ds}_{B_{n}}\sin\!\left(\frac{v n\pi}{L}\,t\right).
  • Logo a solução completa da corda é
u(t,x)=\sum_{n=1}^{\infty}\left[ \left(\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(s)\sin\!\left(\frac{n\pi s}{L}\right)\,ds\right)\cos\!\left(\frac{v n\pi}{L}t\right) +\left(\frac{2}{v n\pi}\int_{0}^{L} g(s)\sin\!\left(\frac{n\pi s}{L}\right)\,ds\right)\sin\!\left(\frac{v n\pi}{L}t\right) \right]\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right).
  • Interpretação rápida e motivadora: cada termo da soma é um modo normal (uma forma de vibração) com frequência \omega_{n}=\dfrac{v n\pi}{L}. Os coeficientes são as projeções de f e g nas funções próprias \sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right). Se estiver meio assustado, pratique calculando os primeiros coeficientes para funções f e g simples (por exemplo f(x)=\sin(\pi x/L) ou f(x)=x(L-x)) — dá para fazer à mão e ajuda a fixar.

Resposta

b_{n}(t)=\left(\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(s)\sin\!\left(\frac{n\pi s}{L}\right)\,ds\right)\cos\!\left(\frac{v n\pi}{L}t\right) +\left(\frac{2}{v n\pi}\int_{0}^{L} g(s)\sin\!\left(\frac{n\pi s}{L}\right)\,ds\right)\sin\!\left(\frac{v n\pi}{L}t\right).

Exercícios relacionados