Uma corda de comprimento
vibra presa nas suas extremidades
e
. O movimento é descrito pela equação de onda
Supondo que a soulução seja da forma
determinar os coeficientes
considerando as condições iniciais
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudinho para a gente não se perder):
- A equação de onda
para
e
.
- A corda está presa nas extremidades, ou seja as condições de contorno implicam
- Supõe-se uma solução na forma de série de senos
onde os
são as funções de
que devemos determinar.
- Condições iniciais:
para
.
O objetivo é determinar explicitamente as funções em termos de
e
.
O objetivo é determinar explicitamente as funções
Passo 2
Substituir a série na equação de onda e calcular derivadas parciais necessárias.
- Derivada segunda em relação a
:
- Derivada segunda em relação a
: usar que . Assim
- Substituindo na PDE obtemos
- Reorganizando:
onde definimos
Passo 3
Explicar e usar a propriedade de ortogonalidade dos senos para isolar cada coeficiente.
- Identidade trigonométrica útil:
- Integração das senóides no intervalo
Explicação curta: para
a identidade gera
.
- Essa ortogonalidade permite que, ao multiplicar a série por
e integrar de a , apenas o termo sobreviva.]
Passo 4
Isolar a equação diferencial para cada
.
- Multiplicar a igualdade
por
e integrar em
de
a
. Pelas contas de ortogonalidade,
- Portanto, para cada
obtemos a equação ordinária
- Comentário didático: cada
satisfaz a equação de um oscilador harmônico simples com pulsação . Essas são as “modos normais” da corda.
Passo 5
Resolver a equação ordinária geral e impor as condições iniciais para encontrar as constantes.
- A equação
tem solução geral
onde
e
são constantes a determinar a partir das condições iniciais.
- Usar
. Avaliando a série em :
Comparando com a série de senos para
, obtemos
- Usar
. Diferenciando a série em :
Em
temos
. Logo
- Relacionando
com : como
temos em
Portanto
- Observação: como
, a constante pode ser escrita de forma mais simples como
Passo 6
Escrever a expressão final para
e para a solução
, explicando os termos.
- Com as constantes
e encontradas, para todo
- Logo a solução completa da corda é
- Interpretação rápida e motivadora: cada termo da soma é um modo normal (uma forma de vibração) com frequência
. Os coeficientes são as projeções de e nas funções próprias . Se estiver meio assustado, pratique calculando os primeiros coeficientes para funções e simples (por exemplo ou ) — dá para fazer à mão e ajuda a fixar.