Uma abelha com vetor velocidade \mathbf{R}(t) começa a voar da origem em t=0 e voa ao redor dela por T segundos. Onde a abelha está localizada no instante T se \int_{0}^{T} \mathbf{R}^{\'}(t) d t=\mathbf{0} ? O que representa a quantidade \int_{0}^{T}\left\|\mathbf{R}^{\'}(t)\right\| d t ?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz duas perguntas claras:
Informação: a abelha "começa a voar da origem em t=0". Isso significa que a posição inicial é \mathbf{R}(0)=\mathbf{0}.
Pergunta 1: “Onde a abelha está localizada no instante T?” (ou seja, qual é \mathbf{R}(T)?)
Pergunta 2: “O que representa a quantidade \displaystyle\int_{0}^{T}\left\|\mathbf{R}^{\prime}(t)\right\|\,dt?”
Nada mais será assumido além disso.
Passo 2
Lembra do fato fundamental sobre integrais de derivadas (Teorema Fundamental do Cálculo, aplicado componente a componente a funções vetoriais): para uma função vetorial \mathbf{R}(t) que seja diferenciável em [0,T] vale
Explicando devagar: se \mathbf{R}(t)=(x(t),y(t),z(t)) (ou só duas componentes, depende do problema), a integral vetorial é feita componente a componente, e cada componente satisfaz o teorema clássico. Ou seja,
Como \mathbf{R}(0)=\mathbf{0} (a abelha começou na origem), então
\mathbf{R}(T)=\mathbf{0}.
Interpretação intuitiva: o vetor deslocamento total da abelha entre 0 e T é o vetor nulo, e como ela começou na origem isso significa que ao tempo T ela voltou à origem.
Passo 4
Agora vamos entender a segunda quantidade. Primeiro, o que é \left\|\mathbf{R}^{\prime}(t)\right\|? Para cada instante t,
\mathbf{R}^{\prime}(t) é o vetor velocidade (derivada da posição).
\left\|\mathbf{R}^{\prime}(t)\right\| é a norma desse vetor, que é a velocidade escalar ou “rapidez” (speed) naquele instante. É sempre um número não negativo.
Portanto \left\|\mathbf{R}^{\prime}(t)\right\| é a velocidade instantânea (módulo da velocidade).
Passo 5
Agora derivamos a interpretação da integral da rapidez. Considere uma partição do intervalo [0,T] em 0=t_0<t_1<\cdots<t_n=T. A distância percorrida aproximada pela soma das distâncias em cada subintervalo é
Para subintervalos pequenos, pela definição da derivada temos \mathbf{R}(t_k)-\mathbf{R}(t_{k-1})\approx \mathbf{R}^{\prime}(\xi_k)\,(t_k-t_{k-1}) para algum \xi_k\in(t_{k-1},t_k). Então
Somando e passando ao limite da partição (tamanho máximo do subintervalo tendendo a zero) obtemos a definição de comprimento de arco (comprimento do caminho percorrido) como
\text{comprimento do caminho de }0\text{ a }T=\int_{0}^{T}\big\|\mathbf{R}^{\prime}(t)\big\|\,dt.
Portanto essa integral dá a distância total percorrida pela abelha ao longo da trajetória entre t=0 e t=T.
Passo 6
Resumo das diferenças importantes (útil para a prova):
\displaystyle\int_{0}^{T}\mathbf{R}^{\prime}(t)\,dt é um vetor: o deslocamento total \mathbf{R}(T)-\mathbf{R}(0). Pode ser nulo mesmo que a abelha tenha voado bastante (ela pode ter dado voltas e retornado).
\displaystyle\int_{0}^{T}\big\|\mathbf{R}^{\prime}(t)\big\|\,dt é um escalar não negativo: o comprimento do percurso (distância total percorrida). Esse valor é zero somente se a abelha não se moveu em todo o intervalo.
Exemplo concreto (para fixar): se a abelha deu uma volta circular de raio a com velocidade angular constante \omega durante um período T=\tfrac{2\pi}{\omega}, uma parametrização é \mathbf{R}(t)=a(\cos(\omega t),\sin(\omega t)). Então \mathbf{R}^{\prime}(t)=a\omega(-\sin(\omega t),\cos(\omega t)), e \big\|\mathbf{R}^{\prime}(t)\big\|=a\omega constante. Então
\int_{0}^{T}\mathbf{R}^{\prime}(t)\,dt=\mathbf{0}\quad\text{(voltou à origem),}à
enquanto
\int_{0}^{T}\big\|\mathbf{R}^{\prime}(t)\big\|\,dt=\int_{0}^{T}a\omega\,dt=a\omega T= a\omega\cdot\frac{2\pi}{\omega}=2\pi a,
que é a circunferência (distância total percorrida).
Passo 7
Palavras de incentivo rápida: na prova, quando você vir \int \mathbf{R}^{\prime} pense imediatamente “deslocamento vetorial” e quando ver \int \|\mathbf{R}^{\prime}\| pense “distância percorrida / comprimento de arco”. Isso resolve essa classe de questões rapidamente e com confiança!
Resposta
\mathbf{R}(T)=\mathbf{0}
\displaystyle\int_{0}^{T}\big\|\mathbf{R}^{\prime}(t)\big\|\,dt é o comprimento do percurso percorrido pela abelha no intervalo [0,T] (a distância total percorrida).