Calcule o comprimento da curva
\mathbf{R}(t)=\left(t, 2 t, t^{2}-3\right), \quad t \in[0,2]

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica (vetor posição)
\mathbf{R}(t)=\left(t,\,2t,\,t^{2}-3\right),
definida no intervalo [0,2]. A pergunta é: calcular o comprimento da curva quando t varia de 0 a 2.
Informações relevantes dadas:
\mathbf{R}(t)=\bigl(x(t),\,y(t),\,z(t)\bigr)=\bigl(t,\,2t,\,t^{2}-3\bigr),\qquad t\in[0,2].

Passo 2

Fórmula que vamos usar (a ferramenta básica): o comprimento de arco de uma curva parametrizada por \mathbf{R}(t) em [a,b] é
L=\int_{a}^{b}\bigl\lVert \mathbf{R}'(t)\bigr\rVert\,dt,
onde \mathbf{R}'(t) é a derivada componente a componente e \lVert\cdot\rVert é a norma euclidiana. Explicando: derivar uma função vetorial é derivar cada coordenada; a norma de um vetor (u,v,w) é \sqrt{u^{2}+v^{2}+w^{2}}. Essa integral soma os pequenos comprimentos elementares ao longo da curva.

Passo 3

Vamos calcular a derivada \mathbf{R}'(t) componente a componente:
\frac{d}{dt}\bigl(t\bigr)=1,\qquad \frac{d}{dt}\bigl(2t\bigr)=2,\qquad \frac{d}{dt}\bigl(t^{2}-3\bigr)=2t.
Portanto
\mathbf{R}'(t)=\bigl(1,\,2,\,2t\bigr).

Passo 4

Agora calculamos a norma de \mathbf{R}'(t):
\bigl\lVert \mathbf{R}'(t)\bigr\rVert=\sqrt{1^{2}+2^{2}+(2t)^{2}}=\sqrt{1+4+4t^{2}}=\sqrt{5+4t^{2}}.
Isto significa que o comprimento de arco é a integral de \sqrt{5+4t^{2}} no intervalo.

Passo 5

Montamos a integral do comprimento:
L=\int_{0}^{2}\sqrt{5+4t^{2}}\,dt.
Agora precisamos calcular essa integral indefinida e depois avaliar de 0 a 2.

Passo 6

Método prático para calcular a integral: usar a substituição x=2t para reduzir à forma padrão \int\sqrt{x^{2}+a^{2}}\,dx. Com x=2t temos dx=2\,dt e dt=dx/2. Quando t=0 tem x=0; quando t=2 tem x=4. Assim
L=\int_{0}^{2}\sqrt{4t^{2}+5}\,dt=\frac{1}{2}\int_{0}^{4}\sqrt{x^{2}+5}\,dx.
Usamos a antiderivada padrão (fórmula conhecida):
\int \sqrt{x^{2}+a^{2}}\,dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^{2}+a^{2}}+\frac{a^{2}}{2}\ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\bigr)+C.
Aqui a^{2}=5. Aplicando e voltando para a variável t (ou avaliando diretamente com x=2t) obtém-se a antiderivada para a integral original:
F(t)=\frac{t}{2}\sqrt{4t^{2}+5}+\frac{5}{4}\ln\bigl(2t+\sqrt{4t^{2}+5}\bigr)+C.
(Se quiser verificar: essa forma vem de aplicar a fórmula com x=2t e multiplicar por 1/2.)

Passo 7

Avaliação definida de 0 a 2. Usamos F(t) do passo anterior:
L=F(2)-F(0).
Calcule F(2):
F(2)=\frac{2}{2}\sqrt{4\cdot 2^{2}+5}+\frac{5}{4}\ln\bigl(4+\sqrt{4\cdot 2^{2}+5}\bigr) =\sqrt{21}+\frac{5}{4}\ln\bigl(4+\sqrt{21}\bigr).
Calcule F(0):
F(0)=\frac{0}{2}\sqrt{5}+\frac{5}{4}\ln\bigl(0+\sqrt{5}\bigr)=\frac{5}{4}\ln\bigl(\sqrt{5}\bigr)=\frac{5}{8}\ln 5.
Subtraindo,
L=\sqrt{21}+\frac{5}{4}\ln\bigl(4+\sqrt{21}\bigr)-\frac{5}{8}\ln 5.
Podemos escrever de forma compacta agrupando os logaritmos:
L=\sqrt{21}+\frac{5}{4}\ln\!\left(\frac{4+\sqrt{21}}{\sqrt{5}}\right).

Resposta

\displaystyle \sqrt{21}+\frac{5}{4}\ln\!\left(\frac{4+\sqrt{21}}{\sqrt{5}}\right)

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