Qual é o vetor velocidade de uma partícula que se move para a direita ao longo da hipérbole y=x^{-1} com velocidade constante igual a 5 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} quando a posição da partícula é ( 2,1 / 2 )
Soluçâo Parametrizamos a hipérbole y=1 / x da direita
O que o enunciado pede: determinar o vetor velocidade da partícula no ponto \left(2,\tfrac{1}{2}\right), sabendo que ela se move para a direita ao longo da hipérbole y=\tfrac{1}{x} com velocidade escalar constante igual a 5\\ \mathrm{cm}/\mathrm{s}.
ponto de interesse \left(2,\tfrac{1}{2}\right) (logo x=2) e velocidade escalar (módulo da velocidade) v=5\\ \mathrm{cm}/\mathrm{s}. A partícula “move para a direita” significa que a componente x da direção tangente deve ser positiva.
Passo 2
Entendendo a relação entre parametrização e velocidade: se a posição da partícula é dada por \mathbf{R}(x) e x varia no tempo t como x=x(t), então a velocidade temporal é
Aqui \frac{d\mathbf{R}}{dx} é um vetor tangente à curva (direção da velocidade), e \frac{dx}{dt} é um escalar que ajusta o comprimento desse vetor para produzir a velocidade com o módulo correto. Uma forma prática na prova: primeiro achamos o vetor tangente \mathbf{R}'(x), depois normalizamos (obtemos o versor tangente) e multiplicamos pelo módulo desejado 5\\ \mathrm{cm}/\mathrm{s}.
Passo 3
Calcular o vetor derivada (vetor tangente) da parametrização em função de x. Derivando componente a componente:
Curiosidade: essa simplificação ficou mais limpa porque o fator 4 cancela o 1/4.
Passo 7
Multiplicar o versor pela velocidade escalar dada v=5\\ \mathrm{cm}/\mathrm{s} para obter o vetor velocidade (com módulo 5\\ \mathrm{cm}/\mathrm{s} e direção correta):
Verificação rápida do módulo: \sqrt{\left(\tfrac{20}{\sqrt{17}}\right)^{2}+\left(-\tfrac{5}{\sqrt{17}}\right)^{2}}=\sqrt{\tfrac{400+25}{17}}=\sqrt{\tfrac{425}{17}}=\sqrt{25}=5, OK.
Passo 8
Interpretação final e ânimo: o vetor encontrado tem componente x positiva (vai para a direita) e componente y negativa (a curva decresce ali). Tá tudo consistente. Você consegue usar esse procedimento em outras curvas: achar o vetor tangente, normalizar e multiplicar pelo módulo desejado.