Qual é o vetor velocidade de uma partícula que se move para a direita ao longo da hipérbole y=x^{-1} com velocidade constante igual a 5 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} quando a posição da partícula é ( 2,1 / 2 )
Soluçâo Parametrizamos a hipérbole y=1 / x da direita
\mathbf{R}(x)=\left(x, \frac{1}{x}\right), x>0
O vetor velocidade é
\mathbf{V}(x)=\mathbf{R}^{\'}(x)=\left(1,-\frac{1}{x^{2}}\right)
No ponto ( 2,1 / 2 ) a velocidade
\mathbf{V}(2)=\left(1,-\frac{1}{4}\right), \quad\|\mathbf{V}\|=\sqrt{1+\frac{1}{4^{2}}}=\sqrt{\frac{17}{4^{2}}}=\frac{\sqrt{17}}{4}
Para que a velocidade da partícula no ponto ( 1,1 / 2 ) seja 5 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} debe seguir paralelo ao vetor \mathbf{V}(2) :
\mathbf{U}=5 \frac{\mathbf{V}(2)}{\|\mathbf{V}(2)\|}=\frac{20}{\sqrt{17}}(1,-1 / 4)=\left(\frac{20}{\sqrt{17}},-\frac{5}{\sqrt{17}}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o vetor velocidade da partícula no ponto \left(2,\tfrac{1}{2}\right), sabendo que ela se move para a direita ao longo da hipérbole y=\tfrac{1}{x} com velocidade escalar constante igual a 5\\ \mathrm{cm}/\mathrm{s}.
Informações dadas:
\mathbf{R}(x)=\left(x,\frac{1}{x}\right),\quad x>0,
ponto de interesse \left(2,\tfrac{1}{2}\right) (logo x=2) e velocidade escalar (módulo da velocidade) v=5\\ \mathrm{cm}/\mathrm{s}. A partícula “move para a direita” significa que a componente x da direção tangente deve ser positiva.

Passo 2

Entendendo a relação entre parametrização e velocidade: se a posição da partícula é dada por \mathbf{R}(x) e x varia no tempo t como x=x(t), então a velocidade temporal é
\frac{d\mathbf{R}}{dt}=\frac{d\mathbf{R}}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}.
Aqui \frac{d\mathbf{R}}{dx} é um vetor tangente à curva (direção da velocidade), e \frac{dx}{dt} é um escalar que ajusta o comprimento desse vetor para produzir a velocidade com o módulo correto. Uma forma prática na prova: primeiro achamos o vetor tangente \mathbf{R}'(x), depois normalizamos (obtemos o versor tangente) e multiplicamos pelo módulo desejado 5\\ \mathrm{cm}/\mathrm{s}.

Passo 3

Calcular o vetor derivada (vetor tangente) da parametrização em função de x. Derivando componente a componente:
\mathbf{R}'(x)=\left(\frac{d}{dx}x,\;\frac{d}{dx}\frac{1}{x}\right)=\left(1,\;-\frac{1}{x^{2}}\right).
Explicação rápida: \frac{d}{dx}x=1 e \frac{d}{dx}\frac{1}{x}=\frac{d}{dx}x^{-1}=-x^{-2}=-\frac{1}{x^{2}}.

Passo 4

Avaliar o vetor tangente no ponto x=2:
\mathbf{R}'(2)=\left(1,-\frac{1}{4}\right).
Observação: a componente x é positiva ( 1>0), então esse vetor aponta para a direita (coerente com o enunciado que a partícula se move para a direita).

Passo 5

Calcular o comprimento (norma) desse vetor tangente. Para um vetor (a,b) a norma é \sqrt{a^{2}+b^{2}}. Aplicando:
\|\mathbf{R}'(2)\|=\sqrt{1^{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{1+\frac{1}{16}}=\sqrt{\frac{17}{16}}=\frac{\sqrt{17}}{4}.
Expliquei: somamos os quadrados das componentes e tiramos a raiz quadrada.

Passo 6

Obter o versor (vetor unitário) na direção tangente em x=2, dividindo o vetor tangente pela sua norma:
\mathbf{T}=\frac{\mathbf{R}'(2)}{\|\mathbf{R}'(2)\|}=\frac{\left(1,-\tfrac{1}{4}\right)}{\tfrac{\sqrt{17}}{4}}=\frac{4}{\sqrt{17}}\left(1,-\tfrac{1}{4}\right)=\left(\frac{4}{\sqrt{17}},-\frac{1}{\sqrt{17}}\right).
Curiosidade: essa simplificação ficou mais limpa porque o fator 4 cancela o 1/4.

Passo 7

Multiplicar o versor pela velocidade escalar dada v=5\\ \mathrm{cm}/\mathrm{s} para obter o vetor velocidade (com módulo 5\\ \mathrm{cm}/\mathrm{s} e direção correta):
\mathbf{V}=v\,\mathbf{T}=5\left(\frac{4}{\sqrt{17}},-\frac{1}{\sqrt{17}}\right)=\left(\frac{20}{\sqrt{17}},-\frac{5}{\sqrt{17}}\right)\\ \mathrm{cm}/\mathrm{s}.
Verificação rápida do módulo: \sqrt{\left(\tfrac{20}{\sqrt{17}}\right)^{2}+\left(-\tfrac{5}{\sqrt{17}}\right)^{2}}=\sqrt{\tfrac{400+25}{17}}=\sqrt{\tfrac{425}{17}}=\sqrt{25}=5, OK.

Passo 8

Interpretação final e ânimo: o vetor encontrado tem componente x positiva (vai para a direita) e componente y negativa (a curva decresce ali). Tá tudo consistente. Você consegue usar esse procedimento em outras curvas: achar o vetor tangente, normalizar e multiplicar pelo módulo desejado.

Resposta

\left(\dfrac{20}{\sqrt{17}},-\dfrac{5}{\sqrt{17}}\right)\\ \mathrm{cm}/\mathrm{s}

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