Seja
(a) Prove que
é a parametrização de uma hélice de radio
e altura
fazendo
voltas completas
Passo 1
O enunciado nos dá a curva parametrizada
e pede para provar que
é a parametrização de uma hélice de raio
e altura
que faz
voltas completas. Informações relevantes a listar: os parâmetros são
(raio),
(altura total ao final do intervalo) e
(número de voltas indicadas); a componente vertical é
e as componentes horizontais têm a forma
. A partir disso queremos mostrar (1) que a curva fica a distância constante
do eixo
(ou seja, está sobre um cilindro de raio
) e (2) que, ao variar
de
até
, o ângulo no plano
gira exatamente
, isto é, fazem-se
voltas, com a subida em
igual a
.
Passo 2
Vamos lembrar de duas ideias básicas e superúteis aqui (explicadinho): em coordenadas polares no plano
um ponto tem representação
. Se a curva tem sempre esse
fixo e
variando, ela descreve um círculo de raio
no plano; se além disso a coordenada
varia com o ângulo (por exemplo, cresce linearmente quando o ângulo aumenta), obtemos uma hélice — imagine a linha enrolada numa haste cilíndrica. Portanto, para provar que
é uma hélice basta mostrar que (i)
para todo
e (ii) a função ângulo
cresce de
até
quando
vai de
a
, enquanto
cresce de
até
.
Passo 3
Mostramos que a distância ao eixo
é constante e igual a
. Escrevendo as componentes
e
e calculando:
Então
onde usamos a identidade trigonométrica
. Portanto
para todo
, o que significa que a curva está contida no cilindro de equação
Passo 4
Identificamos o ângulo no plano
. Defina
Então as coordenadas horizontais são exatamente
e
, ou seja,
é o ângulo polar do ponto projetado no plano
. Avaliando nos extremos do intervalo:
A variação total do ângulo quando
vai de
a
é
O número de voltas completas em torno do eixo
é
. Como
foi dado como número de voltas, isso mostra que a curva dá exatamente
voltas completas ao avançar
de
a
. Note também que
cresce linearmente com
, então não há voltas “estranhas”: o movimento angular é uniforme.
Passo 5
Mostramos que a altura total iguala
. A coordenada vertical é
. Logo, ao variar
de
até
temos
portanto a elevação total da curva é
. Se quisermos a altura por volta (também chamada de passo da hélice), é
pois
é a subida total ao longo de
voltas.
Passo 6
Juntando tudo: (i) a projeção no plano
é um círculo de raio
porque
; (ii) o ângulo polar é
que aumenta de
a
, ou seja, ocorre exatamente
voltas; (iii) a coordenada
sobe de
a
, dando a elevação total
(e passo
por volta). Esses três fatos são exatamente a descrição de uma hélice de raio
e altura
com
voltas completas, portanto
é a parametrização procurada.