Seja
\mathbf{R}(t)=\left(r \cos \left(\frac{2 \pi N t}{h}\right), r \sin \left(\frac{2 \pi N t}{h}\right), t\right), \quad t \in[0, h]
(a) Prove que \mathbf{R}(t) é a parametrização de uma hélice de radio r e altura h fazendo N voltas completas

Passo 1

O enunciado nos dá a curva parametrizada
\mathbf{R}(t)=\left(r\cos\left(\frac{2\pi N t}{h}\right),\; r\sin\left(\frac{2\pi N t}{h}\right),\; t\right),\quad t\in[0,h],
e pede para provar que \mathbf{R}(t) é a parametrização de uma hélice de raio r e altura h que faz N voltas completas. Informações relevantes a listar: os parâmetros são r (raio), h (altura total ao final do intervalo) e N (número de voltas indicadas); a componente vertical é z(t)=t e as componentes horizontais têm a forma r\cos(\cdot),\,r\sin(\cdot). A partir disso queremos mostrar (1) que a curva fica a distância constante r do eixo z (ou seja, está sobre um cilindro de raio r) e (2) que, ao variar t de 0 até h, o ângulo no plano xy gira exatamente 2\pi N, isto é, fazem-se N voltas, com a subida em z igual a h.

Passo 2

Vamos lembrar de duas ideias básicas e superúteis aqui (explicadinho): em coordenadas polares no plano xy um ponto tem representação x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta. Se a curva tem sempre esse r fixo e \theta variando, ela descreve um círculo de raio r no plano; se além disso a coordenada z varia com o ângulo (por exemplo, cresce linearmente quando o ângulo aumenta), obtemos uma hélice — imagine a linha enrolada numa haste cilíndrica. Portanto, para provar que \mathbf{R}(t) é uma hélice basta mostrar que (i) \sqrt{x(t)^2+y(t)^2}=r para todo t e (ii) a função ângulo \theta(t) cresce de 0 até 2\pi N quando t vai de 0 a h, enquanto z(t) cresce de 0 até h.

Passo 3

Mostramos que a distância ao eixo z é constante e igual a r. Escrevendo as componentes x(t) e y(t) e calculando:
x(t)=r\cos\!\left(\frac{2\pi N t}{h}\right),\qquad y(t)=r\sin\!\left(\frac{2\pi N t}{h}\right).
Então
x(t)^2+y(t)^2 = r^2\cos^2\!\left(\frac{2\pi N t}{h}\right)+r^2\sin^2\!\left(\frac{2\pi N t}{h}\right) = r^2\big(\cos^2\theta+\sin^2\theta\big) = r^2,
onde usamos a identidade trigonométrica \cos^2\theta+\sin^2\theta=1. Portanto
\sqrt{x(t)^2+y(t)^2}=r
para todo t\in[0,h], o que significa que a curva está contida no cilindro de equação \,x^2+y^2=r^2.

Passo 4

Identificamos o ângulo no plano xy. Defina
\theta(t)=\frac{2\pi N t}{h}.
Então as coordenadas horizontais são exatamente x(t)=r\cos\theta(t) e y(t)=r\sin\theta(t), ou seja, \theta(t) é o ângulo polar do ponto projetado no plano xy. Avaliando nos extremos do intervalo:
\theta(0)=0,\qquad \theta(h)=\frac{2\pi N h}{h}=2\pi N.
A variação total do ângulo quando t vai de 0 a h é
\Delta\theta=\theta(h)-\theta(0)=2\pi N.
O número de voltas completas em torno do eixo z é \Delta\theta/(2\pi)=N. Como N foi dado como número de voltas, isso mostra que a curva dá exatamente N voltas completas ao avançar t de 0 a h. Note também que \theta(t) cresce linearmente com t, então não há voltas “estranhas”: o movimento angular é uniforme.

Passo 5

Mostramos que a altura total iguala h. A coordenada vertical é z(t)=t. Logo, ao variar t de 0 até h temos
z(0)=0,\qquad z(h)=h,
portanto a elevação total da curva é z(h)-z(0)=h. Se quisermos a altura por volta (também chamada de passo da hélice), é
\text{passo}=\frac{h}{N},
pois h é a subida total ao longo de N voltas.

Passo 6

Juntando tudo: (i) a projeção no plano xy é um círculo de raio r porque x(t)^2+y(t)^2=r^2; (ii) o ângulo polar é \theta(t)=\tfrac{2\pi N t}{h} que aumenta de 0 a 2\pi N, ou seja, ocorre exatamente \,N voltas; (iii) a coordenada z(t)=t sobe de 0 a h, dando a elevação total h (e passo h/N por volta). Esses três fatos são exatamente a descrição de uma hélice de raio r e altura h com N voltas completas, portanto \mathbf{R}(t) é a parametrização procurada.

Resposta

\mathbf{R}(t) é uma parametrização de uma hélice de raio r e altura h que faz N voltas completas.

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