Abrigo para animais Um abrigo para animais compra duas marcas diferentes de ração canina. O número de cães que podem ser alimentados com x libras da primeira marca e y libras da segunda é dado pelo modelo
D(x, y)=-x^2+52 x-y^2+44 y+256.
(b) Qual é o número máximo de cães que podem ser alimentados?

Passo 1

Neste exercício temos um abrigo que compra duas marcas de ração e o número de cães alimentados é dado pela função de duas variáveis D(x,y) = -x^2 + 52x - y^2 + 44y + 256. O objetivo é encontrar o valor máximo de D(x,y). Para isso, vamos usar derivadas parciais e procurar o ponto crítico, pois a função é uma quadrática côncava.

Passo 2

Para achar o ponto crítico de uma função de duas variáveis, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero. Calculamos: partial Dpartial x = -2x + 52 e partial Dpartial y = -2y + 44.

Passo 3

Igualando cada derivada parcial a zero, temos: -2x + 52 = 0 que dá x = 26, e -2y + 44 = 0 que dá y = 22. Esse ponto (26,22) é o único crítico e, por ser função quadrática côncava, corresponde ao máximo.

Passo 4

Agora, basta avaliar D(x,y) em (26,22). Aplicamos:
D(26,22) = -(26)^2 + 52cdot26 - (22)^2 + 44cdot22 + 256
Agora, calculando cada termo:
-676 + 1352 - 484 + 968 + 256 = 1416

Resposta

1416

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