Maximize f(x, y, z)=x+y+z
Restrição : x^2+y^2+z^2=1

Passo 1

O enunciado pede para maximizar a função f(x,y,z)=x+y+z sujeita à restrição x^2+y^2+z^2=1. O conteúdo envolvido é otimização com restrição em superfícies (esfera unitária) e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Definimos a função de Lagrange L(x,y,z,lambda) introduzindo o multiplicador lambda para incorporar a restrição. Escolhemos
L(x,y,z,lambda)=x+y+z - lambdal(x^2+y^2+z^2-1r)

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero para obter o sistema de condições necessárias:
partial Lpartial x=1 - 2lambda x=0, partial Lpartial y=1 - 2lambda y=0, partial Lpartial z=1 - 2lambda z=0, partial Lpartial lambda= -(x^2+y^2+z^2-1)=0

Passo 4

Das três primeiras equações tiramos as relações 1=2lambda x, 1=2lambda y e 1=2lambda z, o que implica x=y=z (desde que lambdaneq0).

Passo 5

Substituindo x=y=z na restrição x^2+y^2+z^2=1 obtemos 3x^2=1, ou seja, x=y=z=pmtfrac1raiz3. Para maximizar f, escolhemos o sinal positivo.

Passo 6

No ponto (x,y,z)=l(tfrac1raiz3,tfrac1raiz3,tfrac1raiz3r) o valor de f é maior, pois
fl(tfrac1raiz3,tfrac1raiz3,tfrac1raiz3r)=3cdottfrac1raiz3=raiz3

Resposta

O valor máximo de f é raiz3, atingido em (x,y,z)=l(tfrac1raiz3,tfrac1raiz3,tfrac1raiz3r).

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