Produção A função de produção de uma empresa é dada por
f(x, y)=100 x^0,25 y^0,75
em que x é o número de unidades de mão de obra e y, o número de unidades de capital. Suponha que a mão de obra custe por unidade e o capital, por unidade e o capital, por unidade. O custo total de mão de obra e capital é limitado a $ 100000.
(a) Determine um nível máximo de produção para esse fabricante.

Passo 1

O enunciado diz que a empresa tem função de produção
f(x,y)=100,x^0.25y^0.75
e enfrenta custo unitário de mão de obra de por unidade de por unidade de e de capital de e de capital de por unidade de 36, com orçamento total limitado a y. Precisamos maximizar sob a restrição orçamentária, usando otimização com multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Para aplicar Lagrange, definimos o Lagrangiano
L(x,y,lambda)=100,x^0.25y^0.75+lambdal(100000-48x-36yr)
As condições de primeira ordem são:
partialLpartial x=25,x^-0.75y^0.75-48lambda=0,
partialLpartial y=75,x^0.25y^-0.25-36lambda=0,
partialLpartiallambda=100000-48x-36y=0

Passo 3

Dividindo a primeira condição pela segunda para eliminar lambda, temos
25,x^-0.75y^0.7575,x^0.25y^-0.25=4836Longrightarrow13,yx=43Longrightarrow y=4x

Passo 4

Substituindo y=4x na restrição orçamentária:
48x+36(4x)=100000Longrightarrow 48x+144x=192x=100000Longrightarrow x=100000192approx520,8333,
y=4xapprox2083,3333

Passo 5

Finalmente, substituímos no produto para achar o nível máximo de produção:
f(520,8333,2083,3333)=100,(520,8333)^0.25(2083,3333)^0.75=100times520,8333times4^0.75approx147200

Resposta

O nível máximo de produção é aproximadamente 147200 unidades.

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