Minimize
Passo 1
A questão pede pra gente minimizar a função f(x,y)=x²−y² no plano real. O conteúdo que vamos usar envolve cálculo de pontos críticos via gradiente, classificação desses pontos usando a matriz Hessiana e, por fim, analisar se existe ou não um mínimo global, olhando o comportamento da função quando as variáveis fogem para infinito.
Passo 2
Primeiro a gente calcula o gradiente de f. Lembra que gradiente é o vetor das derivadas parciais. Temos
Pra achar pontos críticos, igualamos essas derivadas a zero, o que dá x=0 e y=0. Então o único ponto crítico é (0,0).
Passo 3
Agora, pra classificar esse ponto crítico, montamos a matriz Hessiana, que é a matriz das segundas derivadas:
Como um autovalor é positivo (2) e o outro é negativo (−2), a Hessiana é indefinida. Isso quer dizer que (0,0) é um ponto de sela, não um mínimo nem um máximo local.
Passo 4
Por fim, mesmo fora do ponto crítico, dá pra ver que não há mínimo global: se a gente deixa y muito grande em módulo e x=0, a função vai a −∞, ou seja, não existe menor valor finito. A infimum de f é −∞, mas esse valor nunca é atingido por nenhum ponto.
Passo 5
Portanto, não existe ponto que minimize f no plano, e a função é não limitada inferiormente.
Resposta
A função não tem mínimo global (inf f=−∞) e o único ponto crítico (0,0) é um ponto de sela.