Minimize f(x, y)=x^2-y^2

Passo 1

A questão pede pra gente minimizar a função f(x,y)=x²−y² no plano real. O conteúdo que vamos usar envolve cálculo de pontos críticos via gradiente, classificação desses pontos usando a matriz Hessiana e, por fim, analisar se existe ou não um mínimo global, olhando o comportamento da função quando as variáveis fogem para infinito.

Passo 2

Primeiro a gente calcula o gradiente de f. Lembra que gradiente é o vetor das derivadas parciais. Temos
partial fpartial x=2x,
partial fpartial y=-2y
Pra achar pontos críticos, igualamos essas derivadas a zero, o que dá x=0 e y=0. Então o único ponto crítico é (0,0).

Passo 3

Agora, pra classificar esse ponto crítico, montamos a matriz Hessiana, que é a matriz das segundas derivadas:
H(f)= partial^2 fpartial x^2 & partial^2 fpartial xpartial y partial^2 fpartial ypartial x & partial^2 fpartial y^2 =2 & 00 & -2
Como um autovalor é positivo (2) e o outro é negativo (−2), a Hessiana é indefinida. Isso quer dizer que (0,0) é um ponto de sela, não um mínimo nem um máximo local.

Passo 4

Por fim, mesmo fora do ponto crítico, dá pra ver que não há mínimo global: se a gente deixa y muito grande em módulo e x=0, a função vai a −∞, ou seja, não existe menor valor finito. A infimum de f é −∞, mas esse valor nunca é atingido por nenhum ponto.

Passo 5

Portanto, não existe ponto que minimize f no plano, e a função é não limitada inferiormente.

Resposta

A função não tem mínimo global (inf f=−∞) e o único ponto crítico (0,0) é um ponto de sela.

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