Abrigo para animais Um abrigo para animais compra duas marcas diferentes de ração canina. O número de cães que podem ser alimentados com x libras da primeira marca e y libras da segunda é dado pelo modelo
D(x, y)=-x^2+52 x-y^2+44 y+256.
(a) O abrigo encomenda 100 libras de ração canina. Utilize multiplicadores de Lagrange para determinar o número de libras de cada marca de ração que deve ser encomendada de modo que o número máximo de cães possa ser alimentado.

Passo 1

Estamos maximizando o número de cães alimentados dado por D(x,y)=-x^2+52x-y^2+44y+256 sujeito à restrição de que o abrigo encomende 100 libras de ração, isto é, x+y=100. O conteúdo aqui é aplicar multiplicadores de Lagrange para resolver um problema de otimização com restrição.

Passo 2

Formamos o Lagrangiano adicionando à função objetivo um termo com o multiplicador lambda que impõe a restrição:
L(x,y,lambda) = -x^2 + 52x - y^2 + 44y + 256 + lambda,(100 - x - y)
Calculamos as condições de otimalidade, igualando a zero as derivadas parciais de L:
partialLpartial x = -2x + 52 - lambda = 0,
partialLpartial y = -2y + 44 - lambda = 0,
partialLpartial lambda = 100 - x - y = 0

Passo 3

Da primeira e da segunda equação temos duas expressões para lambda:
lambda = -2x + 52
lambda = -2y + 44

Passo 4

Igualando-as aparece uma relação entre x e y:
-2x + 52 = -2y + 44
que simplifica para
$$
y = x - 4.$$

Passo 5

Agora usamos a restrição x + y = 100. Substituindo y = x - 4 obtemos:
$$
x + (x - 4) = 100 \implies 2x - 4 = 100 \implies x = 52.$$
Logo x + (x - 4) = 100 implies 2x - 4 = 100 implies x = 52.

Passo 6

Para confirmar que esse ponto é máximo, note que a função D(x,y) é quadrática com coeficientes negativos nos termos x^2 e y^2, ou seja, sua Hessiana é diagonal com entradas -2 e -2, uma matriz negativa definida. Portanto, o ponto crítico é de fato um máximo.

Resposta

O abrigo deve encomendar 52 libras da primeira marca e 48 libras da segunda marca.

Exercícios relacionados