Abrigo para animais Um abrigo para animais compra duas marcas diferentes de ração canina. O número de cães que podem ser alimentados com
libras da primeira marca e
libras da segunda é dado pelo modelo
.
(a) O abrigo encomenda 100 libras de ração canina. Utilize multiplicadores de Lagrange para determinar o número de libras de cada marca de ração que deve ser encomendada de modo que o número máximo de cães possa ser alimentado.
(a) O abrigo encomenda 100 libras de ração canina. Utilize multiplicadores de Lagrange para determinar o número de libras de cada marca de ração que deve ser encomendada de modo que o número máximo de cães possa ser alimentado.
Passo 1
Estamos maximizando o número de cães alimentados dado por
sujeito à restrição de que o abrigo encomende 100 libras de ração, isto é,
. O conteúdo aqui é aplicar multiplicadores de Lagrange para resolver um problema de otimização com restrição.
Passo 2
Formamos o Lagrangiano adicionando à função objetivo um termo com o multiplicador
que impõe a restrição:
Calculamos as condições de otimalidade, igualando a zero as derivadas parciais de
Passo 3
Da primeira e da segunda equação temos duas expressões para
:
Passo 4
Igualando-as aparece uma relação entre
e
:
que simplifica para
$$
y = x - 4.$$
Passo 5
Agora usamos a restrição
. Substituindo
obtemos:
$$
x + (x - 4) = 100 \implies 2x - 4 = 100 \implies x = 52.$$
Logo .
Logo
Passo 6
Para confirmar que esse ponto é máximo, note que a função
é quadrática com coeficientes negativos nos termos
e
, ou seja, sua Hessiana é diagonal com entradas
e
, uma matriz negativa definida. Portanto, o ponto crítico é de fato um máximo.
Resposta
O abrigo deve encomendar 52 libras da primeira marca e 48 libras da segunda marca.