Determine a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais:
a)
;
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação $ x y’ + 2 y = 0 $. Estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem, mais especificamente, uma equação linear. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de equações lineares e fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para o formato padrão das equações lineares: $ y’ + P(x) y = Q(x) $. Isso facilita a identificação das funções que vamos usar na solução.
Dividindo ambos os lados da equação original por $ x $, temos:
Aqui, $ P(x) = \frac{2}{x} $ e $ Q(x) = 0 $.
Passo 3
A próxima etapa é encontrar o fator integrante, que é uma função que vamos multiplicar em toda a equação para facilitar a solução. O fator integrante ($ \mu(x) $) é dado por:
Substituindo $ P(x) = \frac{2}{x} $:
Como $ x $ é geralmente positivo em contextos práticos, podemos simplificar para $ \mu(x) = x^2 $.
Passo 4
Agora, multiplicamos tudo na equação original pelo fator integrante $ \mu(x) $:
Percebemos que o lado esquerdo agora é a derivada do produto $ x^2 y $. Isso significa que podemos reescrever a equação como:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a $ x $:
Isso simplifica para:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, resolvemos para $ y $:
Resposta
A solução geral da equação diferencial $ x y’ + 2 y = 0 $ é $ y = \frac{C}{x^2} $, onde $ C $ é uma constante arbitrária.