Em abril de 2013, foi divulgada a segunda série de dados de biomonitoramento da Pesquisa Canadense de Medidas de Saúde. Esse relatório apresentou informações sobre 91 substâncias químicas e teve como objetivo acompanhar os níveis ao longo do tempo para avaliar regulamentações e ações de gestão de riscos à saúde. Todos os canadenses testados na pesquisa, com idades entre 3 e 79 anos, apresentaram chumbo no sangue. No entanto, quase todos tinham níveis abaixo do limite atual de intervenção.
Uma amostra aleatória de 50 canadenses foi coletada, e os níveis de chumbo no sangue ( \mathrm{em} \mu \mathrm{g} / \mathrm{dL} ) foram registrados. Os dados estão apresentados na tabela abaixo. Considere que o desvio padrão populacional é \sigma=0,3 \mu \mathrm{~g} / \mathrm{dL}.
1.6 1.3 1.6 1.3 1.3 1.2 1.2 1.3 1.0 1.3 1.1 0.7 1.2
1.3 1.3 1.5 0.9 1.3 1.1 1.0 1.5 1.7 1.3 1.6 0.8 1.1
1.5 1.3 1.4 0.9 1.0 1.5 1.2 1.3 1.5 1.3 1.6 1.4 1.9
0.8 0.9 1.6 1.4 1.3 1.2 1.0 0.7 1.2 1.5 0.8
Determine um intervalo de confiança de 98 \% para a média verdadeira do nível de chumbo no sangue dos canadenses.

Passo 1

O enunciado pede um intervalo de confiança de 98\% para a média verdadeira do nível de chumbo no sangue dos canadenses.
Dados fornecidos (retirei-os da tabela do enunciado): os 50 valores amostrais listados (total n=50). Foi informado que o desvio padrão populacional é \sigma=0,3\\ \mu\mathrm{g}/\mathrm{dL}.
Portanto, o que precisamos calcular é um intervalo de confiança para a média populacional \mu, usando n=50, \sigma=0,3\\ \mu\mathrm{g}/\mathrm{dL} e um nível de confiança de 98\%.

Passo 2

Calcular a média amostral \bar{x}. Somei todos os 50 valores da tabela (peguei cada valor da tabela fornecida) e obtive a soma total 62,7\\ \mu\mathrm{g}/\mathrm{dL}. Como n=50, a média amostral é
\bar{x}=\frac{62,7}{50}=1,254\\ \mu\mathrm{g}/\mathrm{dL}.
Esse é o melhor palpite pontual para a média verdadeira baseado na amostra.

Passo 3

Explicar a fórmula do intervalo de confiança quando \sigma é conhecida.
Quando o desvio padrão populacional \sigma é conhecido, o intervalo de confiança para a média \mu com nível de confiança 1-\alpha é
\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{x} é a média amostral (aqui \bar{x}=1,254),
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área à direita é \alpha/2 (ou seja, P(Z>z_{\alpha/2})=\alpha/2),
  • \sigma é o desvio padrão populacional conhecido ( \sigma=0,3),
  • n é o tamanho da amostra ( n=50).
    A quantidade \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} chama-se erro padrão da média (standard error) e mede a variabilidade da média amostral em torno da verdadeira média.

Passo 4

Determinar z_{\alpha/2} para 98\% de confiança.
Aqui o nível de confiança é 98\%, então \alpha=0,02 e \alpha/2=0,01. O quantil da normal padrão com área à direita 0,01 é aproximadamente
z_{0,01}\approx 2,3263.
(Esse valor obtém-se em tabela da normal padrão ou em calculadora; é o valor tal que P(|Z|<2,3263)=0,98.)

Passo 5

Calcular o erro padrão \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Primeiro \sqrt{n}=\sqrt{50}\approx 7,0711.
Então
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{0,3}{\sqrt{50}}\approx 0,042426.

Passo 6

Calcular a margem de erro E=z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}.
E\approx 2,3263\times 0,042426\approx 0,0987.

Passo 7

Calcular os extremos do intervalo de confiança somando e subtraindo a margem de erro da média amostral.
Limite inferior:
\bar{x}-E=1,254-0,0987\approx 1,1553.
Limite superior:
\bar{x}+E=1,254+0,0987\approx 1,3527.

Passo 8

Arredondamento e interpretação final.
É comum apresentar o intervalo com três casas decimais ou duas, mantendo a precisão coerente com os dados. Mantendo três casas decimais, o intervalo de confiança de 98\% para a média verdadeira é aproximadamente
(1,155\\ ;\\\ 1,353)\\ \mu\mathrm{g}/\mathrm{dL}.
Isso significa que, com 98\% de confiança, a média verdadeira do nível de chumbo no sangue da população está entre 1,155 e 1,353\\ \mu\mathrm{g}/\mathrm{dL}.

Resposta

(1,155\\ ,\\\ 1,353)\\ \mu\mathrm{g}/\mathrm{dL}

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