Em maio de 2013, a empresa Mamma Chia lançou uma bebida em quatro sabores chamada Chia Squeeze Vitality Snack. O produto foi divulgado como uma boa fonte de fibras, contendo frutas e vegetais, sem adição de açúcar, livre de glúten, vegano e com apenas 70 calorias. A bebida possui textura semelhante a um smoothie, e a empresa afirmava que cada sachê continha 1200 mg de ômega-3.
Uma amostra aleatória de unidades do sabor Green Magic foi coletada, e a quantidade de ômega- 3 em cada uma foi cuidadosamente medida. Os dados estão apresentados na tabela abaixo. Admita que o desvio padrão populacional seja \sigma=12 \mathrm{mg}.
1192 1200 1207 1185 1198 1194 1210 1197 1212 1209
1189 1202 1194 1196 1179 1191 1214 1197 1213 1213
1211 1193 1204 1187 1196 1194 1220 1193 1194 1194
1177 1181 1217 1213 1204 1197 1221 1198 1210 1183
a) Calcule um intervalo de confiança de 99 \% para a média da quantidade de ômega- 3 presente nos sachês Green Magic Vitality Snack.
b) Com base no intervalo de confiança obtido no item anterior, há evidências de que a média populacional de ômega-3 seja diferente de 1200 mg ?

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de unidades do sabor Green Magic com as seguintes observações (peguei todos os valores da tabela do enunciado):
\,1192,1200,1207,1185,1198,1194,1210,1197,1212,1209,
\,1189,1202,1194,1196,1179,1191,1214,1197,1213,1213,
\,1211,1193,1204,1187,1196,1194,1220,1193,1194,1194,
\,1177,1181,1217,1213,1204,1197,1221,1198,1210,1183.
Também é informado que o desvio padrão populacional é \sigma=12 mg.
O que o exercício pede:
(a) Calcular um intervalo de confiança de 99\% para a média da quantidade de ômega-3 nos sachês.
(b) Com base nesse intervalo, verificar se há evidências de que a média populacional seja diferente de 1200 mg.

Passo 2

Contagem da amostra e cálculo da média amostral. Primeiro contamos quantos valores temos: são 40 observações. Em seguida somamos todos os valores (usei a soma direta dos números da tabela) e obtive a soma total \sum x_i = 47\,979. Portanto a média amostral é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i=\frac{47\,979}{40}=1\,199{,}475\\ \text{mg}.
Interpretando: \bar{x} é a média observada na amostra; n é o tamanho da amostra.

Passo 3

Apresentação da fórmula do intervalo de confiança quando o desvio padrão populacional \sigma é conhecido. A fórmula para um intervalo de confiança de nível de confiança 1-\alpha (aqui 99\% então \alpha=0{,}01) é
\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{x} é a média amostral (já calculada);
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão tal que \Pr(Z>z_{\alpha/2})=\alpha/2;
  • \sigma é o desvio padrão populacional conhecido;
  • n é o tamanho da amostra;
  • \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média (também chamado de desvio padrão da média).
Breve explicação didática: o intervalo constrói uma margem à volta de \bar{x} que, sob repetidas amostragens, conteria a verdadeira média populacional em aproximadamente 99\% das amostras.

Passo 4

Determinar o valor crítico z_{\alpha/2} para 99\%. Aqui \alpha=0{,}01 então \alpha/2=0{,}005. O quantil correspondente da normal padrão é aproximadamente
z_{0{,}005}\approx 2{,}5758.
Isto vem da tabela da normal padrão ou de software; significa que \Pr(Z>2{,}5758)=0{,}005.

Passo 5

Calcular o erro padrão da média e a margem de erro. O erro padrão é
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{12}{\sqrt{40}}.
Calculemos \sqrt{40}\approx 6{,}3249, então
\frac{12}{\sqrt{40}}\approx 1{,}8974\\ \text{mg}.
A margem de erro é
E=z_{0{,}005}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\approx 2{,}5758\times 1{,}8974\approx 4{,}887.
Explicando: multiplicamos o quantil da normal pelo erro padrão para obter a distância que vamos construir acima e abaixo de \bar{x}.

Passo 6

Calcular os extremos do intervalo de confiança. Aplicando a fórmula:
\text{limite inferior}=\bar{x}-E=1\,199{,}475-4{,}887\approx 1\,194{,}588\\ \text{mg},
\text{limite superior}=\bar{x}+E=1\,199{,}475+4{,}887\approx 1\,204{,}362\\ \text{mg}.
Arredondando para duas casas decimais, o intervalo fica aproximadamente [1\,194{,}59\\ \text{mg},\;1\,204{,}36\\ \text{mg}].

Passo 7

Interpretação para a pergunta (b) — há evidências de que a média populacional difira de 1200 mg? Regra prática: se o valor hipotetizado \mu_0=1200 está contido no intervalo de confiança bilateral de 99\%, não há evidência, ao nível de significância \alpha=0{,}01, de que a média seja diferente de 1200 mg. Nesse caso 1200 está dentro do intervalo [1\,194{,}588,\;1\,204{,}362], portanto não temos evidência suficiente para afirmar que a média populacional difere de 1200 mg.
Complemento numérico (opcional, para fixar): o teste-z bilateral daria a estatística
z=\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{1\,199{,}475-1\,200}{1{,}8974}\approx -0{,}277,
cujo p-valor bilateral é muito grande (próximo de 0{,}78), confirmando a conclusão de não rejeitar H_0:\mu=1\,200.

Passo 8

Resumo final rápido e incentivo: fizemos passo a passo — contei a amostra, calculei a média, usei a fórmula do intervalo com \sigma conhecido, encontrei o crítico da normal, calculei a margem e interpretei. Está tudo certo; você consegue reproduzir isso na prova: copie a fórmula, calcule a média, calcule o erro padrão, pegue z_{0{,}005} e pronto — intervalo e interpretação.

Resposta

(a) [1\,194{,}59\\ \text{mg},\;1\,204{,}36\\ \text{mg}]
(b) Não, não há evidências suficientes para concluir que a média populacional difere de 1\,200 mg (ao nível de significância de 1\%).

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