Em maio de 2013, a empresa Mamma Chia lançou uma bebida em quatro sabores chamada Chia Squeeze Vitality Snack. O produto foi divulgado como uma boa fonte de fibras, contendo frutas e vegetais, sem adição de açúcar, livre de glúten, vegano e com apenas 70 calorias. A bebida possui textura semelhante a um smoothie, e a empresa afirmava que cada sachê continha 1200 mg de ômega-3.
Uma amostra aleatória de unidades do sabor Green Magic foi coletada, e a quantidade de ômega- 3 em cada uma foi cuidadosamente medida. Os dados estão apresentados na tabela abaixo. Admita que o desvio padrão populacional seja
.
1192
1200
1207
1185
1198
1194
1210
1197
1212
1209
1189
1202
1194
1196
1179
1191
1214
1197
1213
1213
1211
1193
1204
1187
1196
1194
1220
1193
1194
1194
1177
1181
1217
1213
1204
1197
1221
1198
1210
1183
a) Calcule um intervalo de confiança de
para a média da quantidade de ômega- 3 presente nos sachês Green Magic Vitality Snack.
b) Com base no intervalo de confiança obtido no item anterior, há evidências de que a média populacional de ômega-3 seja diferente de 1200 mg ?
Uma amostra aleatória de unidades do sabor Green Magic foi coletada, e a quantidade de ômega- 3 em cada uma foi cuidadosamente medida. Os dados estão apresentados na tabela abaixo. Admita que o desvio padrão populacional seja
| 1192 | 1200 | 1207 | 1185 | 1198 | 1194 | 1210 | 1197 | 1212 | 1209 |
| 1189 | 1202 | 1194 | 1196 | 1179 | 1191 | 1214 | 1197 | 1213 | 1213 |
| 1211 | 1193 | 1204 | 1187 | 1196 | 1194 | 1220 | 1193 | 1194 | 1194 |
| 1177 | 1181 | 1217 | 1213 | 1204 | 1197 | 1221 | 1198 | 1210 | 1183 |
b) Com base no intervalo de confiança obtido no item anterior, há evidências de que a média populacional de ômega-3 seja diferente de 1200 mg ?
Passo 1
O enunciado dá uma amostra de unidades do sabor Green Magic com as seguintes observações (peguei todos os valores da tabela do enunciado):
Também é informado que o desvio padrão populacional é mg.
O que o exercício pede:
(a) Calcular um intervalo de confiança de para a média da quantidade de ômega-3 nos sachês.
(b) Com base nesse intervalo, verificar se há evidências de que a média populacional seja diferente de mg.
Também é informado que o desvio padrão populacional é
O que o exercício pede:
(a) Calcular um intervalo de confiança de
(b) Com base nesse intervalo, verificar se há evidências de que a média populacional seja diferente de
Passo 2
Contagem da amostra e cálculo da média amostral. Primeiro contamos quantos valores temos: são
observações. Em seguida somamos todos os valores (usei a soma direta dos números da tabela) e obtive a soma total
. Portanto a média amostral é
Interpretando:
é a média observada na amostra;
é o tamanho da amostra.
Passo 3
Apresentação da fórmula do intervalo de confiança quando o desvio padrão populacional
é conhecido. A fórmula para um intervalo de confiança de nível de confiança
(aqui
então
) é
onde:
-
é a média amostral (já calculada); -
é o quantil da distribuição normal padrão tal que ; -
é o desvio padrão populacional conhecido; -
é o tamanho da amostra; -
é o erro padrão da média (também chamado de desvio padrão da média).
Breve explicação didática: o intervalo constrói uma margem à volta de
que, sob repetidas amostragens, conteria a verdadeira média populacional em aproximadamente
das amostras.
Passo 4
Determinar o valor crítico
para
. Aqui
então
. O quantil correspondente da normal padrão é aproximadamente
Isto vem da tabela da normal padrão ou de software; significa que
.
Passo 5
Calcular o erro padrão da média e a margem de erro. O erro padrão é
Calculemos
, então
A margem de erro é
Explicando: multiplicamos o quantil da normal pelo erro padrão para obter a distância que vamos construir acima e abaixo de
.
Passo 6
Calcular os extremos do intervalo de confiança. Aplicando a fórmula:
Arredondando para duas casas decimais, o intervalo fica aproximadamente
.
Passo 7
Interpretação para a pergunta (b) — há evidências de que a média populacional difira de
mg? Regra prática: se o valor hipotetizado
está contido no intervalo de confiança bilateral de
, não há evidência, ao nível de significância
, de que a média seja diferente de
mg. Nesse caso
está dentro do intervalo
, portanto não temos evidência suficiente para afirmar que a média populacional difere de
mg.
Complemento numérico (opcional, para fixar): o teste-z bilateral daria a estatística
cujo p-valor bilateral é muito grande (próximo de
), confirmando a conclusão de não rejeitar
.
Passo 8
Resumo final rápido e incentivo: fizemos passo a passo — contei a amostra, calculei a média, usei a fórmula do intervalo com
conhecido, encontrei o crítico da normal, calculei a margem e interpretei. Está tudo certo; você consegue reproduzir isso na prova: copie a fórmula, calcule a média, calcule o erro padrão, pegue
e pronto — intervalo e interpretação.
Resposta
(a)
(b) Não, não há evidências suficientes para concluir que a média populacional difere de mg (ao nível de significância de
).
(b) Não, não há evidências suficientes para concluir que a média populacional difere de