O peso de um pneu cheio de ar pode influenciar significativamente o desempenho e a segurança de um veículo. Por esse motivo, alguns especialistas em transporte recomendam que os mecânicos verifiquem o peso dos pneus durante as inspeções anuais. Suponha que o peso de um pneu 185/60/14 cheio de ar siga uma distribuição normal com desvio padrão de 1,25 libras. Em uma amostra aleatória composta por 15 pneus, foi registrada uma média amostral de 18,75 libras. Determine um intervalo de confiança de
para a média verdadeira do peso desses pneus.
Passo 1
O enunciado pede um intervalo de confiança de
para a média verdadeira do peso dos pneus. As informações fornecidas são:
- desvio padrão populacional
libras; - tamanho da amostra
; - média amostral
libras; - nível de confiança
.
Portanto, a pergunta é: construir um intervalo de confiança de
para a média populacional
do peso dos pneus, usando os dados acima.
Passo 2
Qual método usar? Aqui temos a população assumida normal e o desvio padrão populacional
conhecido. Nesses casos usamos o intervalo de confiança baseado na distribuição normal padrão (z), cuja fórmula é
Vou explicar cada parte dessa fórmula antes de calcular:
-
é a média amostral (aqui ); -
é o valor crítico da distribuição normal padrão que deixa em cada cauda. Para de confiança temos e ; -
é o desvio padrão populacional (aqui ); -
é o tamanho da amostra (aqui ); -
é o erro padrão da média (a incerteza típica da média amostral).
Observação rápida: se
não fosse conhecido e a amostra fosse pequena, usaríamos a distribuição t de Student. Aqui não é o caso porque
foi dado.
Passo 3
Vamos obter o valor crítico
para
. É um valor tabelado ou conhecido: para
temos
Isso significa que
da área central da normal padrão fica entre
e
.
Passo 4
Calcular o erro padrão da média
.
Primeiro a raiz de
:
Agora o erro padrão:
Expliquei: esse número mede quanto, em média, a média amostral varia em torno da média populacional se repetíssemos amostras de tamanho
.
Passo 5
Calcular a margem de erro:
.
Arredondando razoavelmente para duas casas decimais,
libras. Mas para mais precisão vou manter três casas quando construir o intervalo.
Passo 6
Construir o intervalo:
.
Cálculo dos limites:
Arredondando para duas casas decimais (prática comum em relatórios), obtemos os limites
e
libras.
Passo 7
Interpretação rápida: isso significa que, com
de confiança, a média verdadeira do peso dos pneus está entre
e
libras, segundo a amostra e as hipóteses feitas (normalidade da população e
conhecido). Força aí — está indo bem!