O peso de um pneu cheio de ar pode influenciar significativamente o desempenho e a segurança de um veículo. Por esse motivo, alguns especialistas em transporte recomendam que os mecânicos verifiquem o peso dos pneus durante as inspeções anuais. Suponha que o peso de um pneu 185/60/14 cheio de ar siga uma distribuição normal com desvio padrão de 1,25 libras. Em uma amostra aleatória composta por 15 pneus, foi registrada uma média amostral de 18,75 libras. Determine um intervalo de confiança de 95 \% para a média verdadeira do peso desses pneus.

Passo 1

O enunciado pede um intervalo de confiança de 95\% para a média verdadeira do peso dos pneus. As informações fornecidas são:
  • desvio padrão populacional \sigma = 1,25 libras;
  • tamanho da amostra n = 15;
  • média amostral \bar{x} = 18,75 libras;
  • nível de confiança 95\%.
Portanto, a pergunta é: construir um intervalo de confiança de 95\% para a média populacional \mu do peso dos pneus, usando os dados acima.

Passo 2

Qual método usar? Aqui temos a população assumida normal e o desvio padrão populacional \sigma conhecido. Nesses casos usamos o intervalo de confiança baseado na distribuição normal padrão (z), cuja fórmula é
\bar{x} \pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Vou explicar cada parte dessa fórmula antes de calcular:
  • \bar{x} é a média amostral (aqui \bar{x}=18,75);
  • z_{\alpha/2} é o valor crítico da distribuição normal padrão que deixa \alpha/2 em cada cauda. Para 95\% de confiança temos \alpha=0{,}05 e \alpha/2=0{,}025;
  • \sigma é o desvio padrão populacional (aqui \sigma=1,25);
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=15);
  • \frac{\sigma}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média (a incerteza típica da média amostral).
Observação rápida: se \sigma não fosse conhecido e a amostra fosse pequena, usaríamos a distribuição t de Student. Aqui não é o caso porque \sigma foi dado.

Passo 3

Vamos obter o valor crítico z_{\alpha/2} para 95\%. É um valor tabelado ou conhecido: para \alpha/2=0{,}025 temos
z_{0{,}025} \approx 1{,}96.
Isso significa que 95\% da área central da normal padrão fica entre -1{,}96 e 1{,}96.

Passo 4

Calcular o erro padrão da média \displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Primeiro a raiz de n:
\sqrt{15} \approx 3{,}872983346.
Agora o erro padrão:
\text{SE}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{1{,}25}{\sqrt{15}}\approx 0{,}3227486.
Expliquei: esse número mede quanto, em média, a média amostral varia em torno da média populacional se repetíssemos amostras de tamanho 15.

Passo 5

Calcular a margem de erro: m = z_{0{,}025}\times \text{SE}.
m = 1{,}96 \times 0{,}3227486 \approx 0{,}6325982.
Arredondando razoavelmente para duas casas decimais, m \approx 0{,}63 libras. Mas para mais precisão vou manter três casas quando construir o intervalo.

Passo 6

Construir o intervalo: \bar{x} \pm m.
Cálculo dos limites:
\text{limite inferior} = 18{,}75 - 0{,}6325982 \approx 18{,}1174018,
\text{limite superior} = 18{,}75 + 0{,}6325982 \approx 19{,}3825982.
Arredondando para duas casas decimais (prática comum em relatórios), obtemos os limites 18{,}12 e 19{,}38 libras.

Passo 7

Interpretação rápida: isso significa que, com 95\% de confiança, a média verdadeira do peso dos pneus está entre 18{,}12 e 19{,}38 libras, segundo a amostra e as hipóteses feitas (normalidade da população e \sigma conhecido). Força aí — está indo bem!

Resposta

(18,12\\ \text{libras},\\\ 19,38\\ \text{libras})

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