Se x0 é a abscissa do vértice da parábola y=a x^2+b x+c(a neq 0), qual deve ser a derivada da função f(x)=a x^2+b x+c em x=x0 ? Use a sua resposta para determinar as coordenadas do vértice.

Passo 1

O enunciado define a função quadrática \r
;f(x)=a x^2+b x+c com aneq0 e diz que x0 é a abscissa do vértice da parábola. Pede (i) qual deve ser a derivada de f em x=x0 e (ii) usar isso para achar as coordenadas do vértice. Vamos usar cálculo de derivada e a condição de extremum de funções.

Passo 2

Calculamos a derivada de f aplicando a regra de potência e soma: \r
f'(x)=2a,x + b

Passo 3

No vértice de uma parábola a derivada se anula. Logo em x=x0 temos \r
f'(x0)=0

Passo 4

Substituindo na expressão de f'(x): \r
2a,x0+b=0
implies x0=-b2a

Passo 5

A ordenada do vértice é y0=f(x0). Substituindo x0=-tfracb2a em f(x): \r
y0 = al(-b2ar)^2 + bl(-b2ar) + c = b^24a-b^22a+c = -b^24a+c

Resposta

A derivada em x = x0 deve ser zero, ou seja, f'(x0) = 0.\nAs coordenadas do v’ertice s~ao
l(x0, y0r) = l(-b2a,, c - b^24ar)

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