Determine a derivada das funções a seguir da forma mais simples.
f(x)=ln (raiz[3]4 x^2+7 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=lnl(raiz[3]4x^2+7xr)
O conteúdo envolve propriedades de logaritmo e regra da cadeia para derivadas.

Passo 2

Vamos usar a identidade ln(a^b)=b,ln(a). Assim,
f(x)=lnl((4x^2+7x)^1/3r) =13,lnl(4x^2+7xr)

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia junto com a derivada de ln(u), que é u'/u. Tomando u(x)=4x^2+7x, temos u'(x)=8x+7. Logo,
f'(x) =13;ddxl[ln(u(x))r] =13;u'(x)u(x) =13;8x+74x^2+7x

Passo 4

Podemos observar que 4x^2+7x=x(4x+7), mas não há cancelamento com o numerador. Então a forma mais simples é
f'(x)=8x+73,(4x^2+7x)

Resposta

f'(x)=8x+73,(4x^2+7x)

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