Exercício 1: Receita de um estacionamento
Um estacionamento cobra R 20,00 por vaga e recebe, em média, 200 carros por dia Estudos mostram que, para cada Ré1,00 de aumento no preço, 5 carros deixam de usar o estacionamento. Qual deve ser o valor da vaga para maximizar a receita diária?
RESPOSTA: p=20+10=R 30,00$

Passo 1

O enunciado diz que a receita diária R de um estacionamento é dada pelo produto do preço da vaga pelo número de carros que entram. Atualmente o preço é R$20 e entram em média 200 carros por dia. Para cada aumento de R$1 no preço, 5 carros deixam de usar o estacionamento. O conteúdo aqui é otimização de função quadrática (maximização de receita).

Passo 2

Vamos definir uma variável que conte quantos reais acima de 20 estamos cobrando. Seja x o número de aumentos de R$1. Então:
preço por vaga = p = 20 + x, ç
número de carros = 200 - 5x ú

Passo 3

A receita R(x) é o preço vezes a quantidade de carros:
R(x) = pcdot(número de carros) ú
R(x) = (20 + x),(200 - 5x)
Desenvolvendo:
R(x) = 20cdot200 - 100x + 200x -5x^2
R(x) = -5x^2 +100x +4000

Passo 4

Para maximizar uma função quadrática R(x) = ax^2 + bx + c com a<0, o valor de x no vértice é
xv = -b2a
Aqui a=-5 e b=100, logo
xv = -1002cdot(-5) = 10
Isso significa aumentar 10 reais acima de 20.

Resposta

O preço que maximiza a receita é
R$,l(20+10r)=R$30,00.

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