A absortividade de uma superfície de forma simplificada pode ser definida como:
para
e
para
, sendo
. O pode emissivo desta superfície pode ser determinado com a seguinte expressão:
, sendo
uma constante de proporcionalidade e
. Calcular a absortividade média de uma superfície que se encontra com temperatura de 1500 K .
Passo 1
Dados do enunciado (o que o problema dá e o que pede):
com
e
constante de proporcionalidade.
A temperatura é
A temperatura é
O que se pede: calcular a absortividade média
da superfície na temperatura
.]
Passo 2
Ideia para a média (intuição e fórmula que vamos usar):
A absortividade média, no contexto espectral, é a fração da energia total incidente (ou emitida, pelo princípio de Kirchhoff aplicado aqui) que é absorvida. Matemáticamente isso é uma média ponderada por :
A absortividade média, no contexto espectral, é a fração da energia total incidente (ou emitida, pelo princípio de Kirchhoff aplicado aqui) que é absorvida. Matemáticamente isso é uma média ponderada por
Aqui
representa a fração média de energia absorvida quando a radiação tem espectro
. Todas as variáveis:
é o comprimento de onda,
a temperatura,
o poder emissivo espectral.
Passo 3
Aplicar a forma em partes de
e separar integrais:
É conveniente definir a fração de potência emitida para
:
então
Logo basta calcular
.
Passo 4
Troca de variável para simplificar as integrais (passo técnico):
Use a mudança de variável
Use a mudança de variável
Calcule
:
Substituindo na expressão de
:
Multiplicando por
:
Passo 5
Expressão das integrais em termos de
:
Ao mudar o limite e
, temos
Ao mudar o limite
A integral
é a função Gamma:
Portanto a integral total é
(o fator
vai se cancelar ao formar
).
Passo 6
Integral parcial
em termos de
:
Quando vai de
até
,
vai de
até
Quando
Com a mudança de variável obtemos
onde
é a função gama incompleta superior. Para inteiro positivo aplica-se a fórmula fechada:
Passo 7
Expressão simples para
(cancelações):
Portanto basta calcular
e avaliar essa expressão numérica.
Passo 8
Calcular
numericamente:
Compute
:
Logo
Passo 9
Avaliar
passo a passo:
Calcule :
Calcule
Calcule o polinômio
Multiplicando:
Interpretação: aproximadamente
da potência espectral está em
.
Passo 10
Calcular a absortividade média
:
Substituindo
,
e
:
Calcule as parcelas:
Somando:
Arredondando de forma prática para três casas decimais: