Uma panela contém água em a 40^{\circ} \mathrm{C}. A base da panela (diâmetro de 20 cm ) é aquecida eletricamente. Com acréscimo de 1,35 \mathrm{~kW} de calor na base da panela a temperatura na água resulta em 90^{\circ} \mathrm{C}. Calcular o coeficiente de transferência de calor por convecção da água em aquecimento.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
  • Temperatura inicial da água: \;40^\circ\mathrm{C}.
  • Após aquecimento, a temperatura da água passa a ser: \;90^\circ\mathrm{C}.
  • Potência elétrica fornecida na base: \;1,35\:\mathrm{kW}.
  • Diâmetro da base da panela: \;20\:\mathrm{cm}.
  • Pedido: calcular o coeficiente de transferência de calor por convecção da água durante o aquecimento (isto é, h).
Observação importante (apenas identificando o que falta): o enunciado não informa explicitamente a temperatura da superfície da base aquecida ( T_s), que é necessária para determinar h pela relação convectiva. Vou mostrar a fórmula geral que dá h em função de T_s e, para obter um número, adotarei uma hipótese razoável (vou explicitar essa hipótese quando for usá‑la).

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (aula curta e direta):
A transferência de calor por convecção entre uma superfície sólida e um fluido é dada pela Lei de Resfriamento de Newton:
\dot{Q}_{\text{conv}} = h\,A\,(T_s - T_\infty).
Explicando cada símbolo:
  • \dot{Q}_{\text{conv}} é a taxa de transferência de calor por convecção (unidade: \mathrm{W}).
  • h é o coeficiente de transferência de calor por convecção que queremos (unidade: \mathrm{W/(m^2\cdot K)}).
  • A é a área da superfície de troca (unidade: \mathrm{m^2}).
  • T_s é a temperatura da superfície sólida (a base da panela) (unidade: ^\circ\mathrm{C} ou \mathrm{K}).
  • T_\infty é a temperatura do fluido “distante” (aqui: temperatura da água aproximadamente homogênea) (unidade: ^\circ\mathrm{C} ou \mathrm{K}).
Nota didática: diferenças de temperatura em Celsius e Kelvin são equivalentes quando aparecem como \Delta T. Ou seja, T_s - T_\infty em ^\circ\mathrm{C} é numericamente igual à diferença em \mathrm{K}.

Passo 3

Isolando h na fórmula da convecção obtemos a expressão que precisamos:
h = \frac{\dot{Q}_{\text{conv}}}{A\,(T_s - T_\infty)}.
Isto significa que, para calcular h, precisamos de \dot{Q}_{\text{conv}} (já temos), da área A (podemos calcular a partir do diâmetro) e da diferença de temperatura entre superfície e água (T_s - T_\infty) — esta última é a que não está explícita no enunciado.

Passo 4

Cálculo da área da base a partir do diâmetro (passo-a-passo numérico):
  • Diâmetro \;d=20\:\mathrm{cm}=\;0,20\:\mathrm{m}.
  • Raio \;r=\dfrac{d}{2}=0,10\:\mathrm{m}.
  • Área da base (círculo):
A=\pi r^{2}=\pi\,(0,10)^{2}=0,01\pi\:\mathrm{m^{2}} \approx 0,0314159\:\mathrm{m^{2}}.
Também convertendo a potência para SI:
\dot{Q}_{\text{conv}}=1,35\:\mathrm{kW}=1350\:\mathrm{W}.

Passo 5

Sobre a falta de T_s e a hipótese que vou adotar:
  • O enunciado não informa explicitamente a temperatura da superfície da base T_s. Sem T_s não é possível obter um valor numérico único para h — apenas a expressão em função de T_s.
  • Para fornecer um valor numérico ilustrativo (e porque é uma hipótese comum em problemas de panela próxima da ebulição), vou assumir que a superfície aquecida da base está a T_s=100^\circ\mathrm{C} (temperatura de ebulição da água a pressão atmosférica). Se você tiver outro valor para T_s, pode substituir na fórmula geral que eu dei no Passo 3.

Passo 6

Cálculo numérico com a hipótese T_s=100^\circ\mathrm{C} e T_\infty=90^\circ\mathrm{C}:
  • Diferença de temperatura:
\Delta T = T_s - T_\infty = 100^\circ\mathrm{C} - 90^\circ\mathrm{C} = 10\:\mathrm{K}.
  • Aplicando a fórmula:
h = \frac{1350}{A\,(10)}.
Substituindo A=0,01\pi\:\mathrm{m^2}:
A\,(10)=0,01\pi \times 10 = 0,1\pi \approx 0,314159\:\mathrm{m^2\cdot K}.
Portanto
h \approx \frac{1350}{0,314159} \approx 4297\:\mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.
Arredondando com dois algarismos significativos típicos:
h \approx 4,30\times 10^{3}\:\mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.

Passo 7

Interpretação e comentário prático (rápido):
  • Esse valor de h (cerca de 4{,}3\times10^{3}\:\mathrm{W/(m^2\cdot K)}) é relativamente alto: está mais na faixa de convecção forçada intensiva ou de regimes com ebulição na superfície. Para convecção natural em líquidos quentes, valores típicos costumam ser menores (algumas dezenas a algumas centenas \mathrm{W/(m^2\cdot K)}). Isso indica que, se a base estivesse só ligeiramente mais quente que a água, ou se não houvesse borbulhamento, o h real provavelmente seria menor — ou, dito de outra forma, para obter essa potência com uma área tão pequena, a diferença de temperatura superfície-água tem que ser grande ou o coeficiente h tem de ser elevado (evocando ebulição/fluxo forçado).

Resposta

h=\frac{\dot{Q}}{A\,(T_s-T_\infty)}
Assumindo T_s=100^\circ\mathrm{C} e T_\infty=90^\circ\mathrm{C}:
h \approx 4{,}30\times 10^{3}\:\mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.

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