“Ação à Distância” - Defina e/ou expresse o que se pede: [0,80]
[0,40] Lei de Coulomb: (i#) força eletrostática sobre uma carga “puntiforme”, denominada carga de prova, de carga q_{0}(>0), devido à presença de outra carga puntiforme, de carga q; (ii) valor da permissividade elétrica do vácuo \epsilon_{0}; (iii*) valor da constante de proporcionalidade elétrica do vácuo 1 / 4 \pi \epsilon_{0}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede (i) a expressão da lei de Coulomb: a força eletrostática sobre uma carga puntiforme chamada carga de prova, de carga \,q_{0}(>0)\,, causada por outra carga puntiforme de carga \,q\,;
  • Pede (ii) o valor da permissividade elétrica do vácuo \,\epsilon_{0}\,;
  • Pede (iii*) o valor da constante de proporcionalidade elétrica do vácuo \,1/(4\pi\epsilon_{0}).
    Informações dadas implicitamente: são cargas puntiformes (podem ser tratadas como localizadas em pontos), distância entre elas será chamada de \,r\,, e a carga de prova tem sinal positivo ( \,q_{0}>0).

Passo 2

Entendendo a configuração geométrica (definições úteis que vamos usar).
  • Coloque a carga fonte \,q\, em uma posição \,\mathbf{r}_q e a carga de prova \,q_{0}\, em \,\mathbf{r}_{0}.
  • Defina o vetor distância da carga fonte até a carga de prova por
\mathbf{r}=\mathbf{r}_{0}-\mathbf{r}_{q}.
  • O módulo da distância é \,r=|\mathbf{r}|.
  • Defina o versor (vetor unitário) na direção de \,\mathbf{r} por
\hat{\mathbf{r}}=\frac{\mathbf{r}}{r}.
Essas definições permitem escrever a força de maneira vetorial e com sinal correto.

Passo 3

Enunciando a Lei de Coulomb — forma física e ideias por trás.
  • A Lei de Coulomb diz que a magnitude da força eletrostática entre duas cargas puntuais é proporcional ao produto dos módulos das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas (lei do inverso do quadrado).
  • A proporcionalidade é dada por uma constante que envolve a permissividade do vácuo \,\epsilon_{0}\,.
  • Em forma vetorial, a força exercida pela carga fonte \,q\, sobre a carga de prova \,q_{0}\, é dirigida ao longo da reta que une as duas cargas e tem módulo proporcional a |q\,q_{0}|/r^{2}.

Passo 4

Escrevendo a fórmula vetorial da força (o enunciado pede a força sobre a carga de prova \,q_{0}(>0)\,).
  • A expressão vetorial padrão (orientada do ponto fonte para a carga de prova) é
\mathbf{F}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{q\,q_{0}}{r^{2}}\hat{\mathbf{r}}.
Explicando cada símbolo:
  • \mathbf{F} é a força sobre \,q_{0}\, (unidade: newton, \mathrm{N});
  • \,q é a carga que gera o campo (unidade: coulomb, \mathrm{C});
  • \,q_{0} é a carga de prova (aqui \,q_{0}>0);
  • \,r é a distância entre as cargas (unidade: metro, \mathrm{m});
  • \,\hat{\mathbf{r}}\, é o versor que aponta de \,q\, para \,q_{0}\,;
  • \,\epsilon_{0}\, é a permissividade do vácuo.
  • Módulo da força (valor absoluto):
|\mathbf{F}|=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{|q\,q_{0}|}{r^{2}}.
  • Interpretação do sinal quando \,q_{0}>0: se \,q>0 então \mathbf{F} aponta no mesmo sentido de \hat{\mathbf{r}} (repulsão — a carga de prova é empurrada para longe da carga q); se \,q<0 então \mathbf{F} aponta no sentido oposto a \hat{\mathbf{r}} (atração — a carga de prova é puxada em direção a q).

Passo 5

Breve aula sobre a permissividade do vácuo \,\epsilon_{0}\, (o que é e por que aparece).
  • \epsilon_{0} (permessividade elétrica do vácuo) é uma constante física que mede a facilidade com que o campo elétrico se estabelece no espaço livre; ela relaciona o campo elétrico \mathbf{E} com a densidade de fluxo elétrico \mathbf{D} por \mathbf{D}=\epsilon_{0}\mathbf{E} no vácuo, e aparece nas equações de Maxwell.
  • Em unidades SI, \epsilon_{0} tem unidade farad por metro ( \mathrm{F/m}), onde 1\,\mathrm{F}=\mathrm{C}^2/\mathrm{N\,m}.
  • Valor numérico conhecido e adotado no SI:
\epsilon_{0}=8,854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
(este valor foi extraído das definições e medições físicas padrão; para cálculos práticos pode-se usar 8,85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}).

Passo 6

Definindo e calculando a constante 1/(4\pi\epsilon_{0}) (a constante de proporcionalidade elétrica do vácuo).
  • Por definição:
k\equiv\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}.
  • Primeiro calcule 4\pi\epsilon_{0}. Usando \epsilon_{0} do passo anterior:
4\pi\epsilon_{0}\approx 4\pi\cdot 8,854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}\approx 1,112650056\times10^{-10}\\ \mathrm{F/m}.
  • Invertendo:
\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\approx 8,98755179\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}.
  • Observação sobre unidades: \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}} é a unidade conveniente para k de modo que quando usada na expressão da força ela produz newtons.

Passo 7

Resumo prático para usar na prova (o que escrever rápido, sem perder informações essenciais).
  • Para enunciar a Lei de Coulomb e aplicar: escreva a fórmula vetorial, explique a direção segundo os sinais das cargas e indique os valores numéricos de \epsilon_{0} e de k se precisar de cálculo numérico rápido:
    • \mathbf{F}=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\dfrac{q\,q_{0}}{r^{2}}\hat{\mathbf{r}},
    • \epsilon_{0}=8,854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m},
    • \dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}}=8,98755179\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}.
  • Pequeno truque de prova: se pedirem apenas a magnitude, use a fórmula com |q\,q_{0}| e se pedirem sentido, diga “repulsão se sinais iguais, atração se sinais opostos”.

Resposta

(i) \mathbf{F}=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\dfrac{q\,q_{0}}{r^{2}}\hat{\mathbf{r}} (para q_{0}>0; direção: afastando-se de q se q>0, aproximando-se de q se q<0).
(ii) \epsilon_{0}=8,854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
(iii*) \dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}}=8,98755179\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}.

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