“Ação à Distância” - Defina e/ou expresse o que se pede: [0,80]
Lei de Biot e Savart: (i#) força magnetostática sobre uma carga “puntiforme”, denominada carga de prova, de carga
e velocidade
, devido à presença de outra carga puntiforme, de carga
e velocidade
; (ii*) valor da permeabilidade magnética do vácuo
; (iii) valor da constante de proporcionalidade magnética do vácuo
.
Passo 1
O enunciado pede três coisas. Vou listar claramente o que é solicitado e quais dados são fornecidos:
- Pedidos:
- Expressar a força magnetostática sobre uma carga puntiforme de prova, com carga
e velocidade , devido à presença de outra carga puntiforme de carga e velocidade . (Este item refere-se à Lei de Biot–Savart aplicada a uma carga em movimento e ao uso da força magnética da Lei de Lorentz.) - Dar o valor da permeabilidade magnética do vácuo
. - Dar o valor da constante
.
- Expressar a força magnetostática sobre uma carga puntiforme de prova, com carga
- Dados explícitos do enunciado que usarei:
- Carga de prova:
com velocidade . - Carga fonte:
com velocidade . - As cargas são puntiformes; o campo magnético produzido pela carga
será usado para calcular a força sobre .
- Carga de prova:
- Observação sobre notação que vou usar nos passos seguintes (apenas definições):
-
= posição da carga . -
= posição da carga . -
= vetor que vai da carga fonte até a carga de prova . -
e .
-
Passo 2
O que diz a Lei de Biot–Savart (forma apropriada para uma carga puntiforme em movimento) e como obter o campo magnético produzido por
.
- A Lei de Biot–Savart, na sua forma para um elemento de corrente, dá o campo magnético
produzido por um elemento de corrente. Uma carga puntiforme em movimento com velocidade gera um campo magnético idêntico ao produzido por um elemento de corrente pontual; para o ponto de observação em temos a expressão:
- Explicando cada símbolo na fórmula acima:
-
é o campo magnético no ponto onde está a carga de prova . -
é a permeabilidade magnética do vácuo (valor numérico será dado depois). -
é a carga que se move e produz o campo. -
é a velocidade da carga geradora . -
é o versor que aponta de para . -
é a distância entre as cargas.
-
- Observação algébrica útil:
. Assim outra forma equivalente é
Passo 3
Regra para obter a força magnética sobre a carga de prova: lei de Lorentz (componente magnética).
- A força magnética que age sobre uma carga
movendo-se com velocidade num campo magnético é dada por
- Unidades e interpretação:
-
tem unidade de newton ( ). - A direção da força é dada pelo produto vetorial
(regra da mão direita); a força é sempre perpendicular tanto à velocidade da carga de prova quanto ao campo magnético local.
-
Passo 4
Substituir o
dado pela Lei de Biot–Savart na expressão da força magnética.
- Partindo de
e usando , obtemos
- Colocando os coeficientes fora do produto vetorial:
Esta é uma forma compacta e correta da força magnética entre as duas cargas puntiformes em movimento (força magnética apenas; despreza efeitos retardados/relativísticos além do nível magnetostático).
Passo 5
Simplificar a forma vetorial usando a identidade do produto triplo (identidade de Lagrange) e interpretar.
- Identidade vetorial usada:
- Aplicando com
, , , obtemos
- Substituindo na expressão da força:
- Interpretação física rápida e dicas para a prova:
- A força é perpendicular a
somente quando e (situação especial). Em geral a força não precisa estar inteiramente perpendicular a . - Casos simples para checar raciocínio: se
(carga fonte estacionária) então e ; se e são paralelos e perpendicular a eles, a forma pode simplificar — é útil para verificar sinais e direções na prova. - Lembre-se: isto é a componente magnetostática (ligeira aproximação não-relativística). Em problemas de prova de nível básico a forma acima é a exigida.
- A força é perpendicular a
Passo 6
Valores numéricos padronizados em sistema SI (como normalmente usados em provas):
- Valor usualmente adotado para a permeabilidade do vácuo:
- Daí a constante
vale
- Observação prática (para você não se assustar na prova): muitos exercícios usam diretamente
em unidades SI simplificadas; se o enunciado pede valores numéricos use essas formas.