“Ação à Distância” - Defina e/ou expresse o que se pede: [0,80]
[0,40] Lei de Biot e Savart: (i#) força magnetostática sobre uma carga “puntiforme”, denominada carga de prova, de carga q_{0}(>0) e velocidade \mathbf{v}_{0}, devido à presença de outra carga puntiforme, de carga q e velocidade \mathbf{v}; (ii*) valor da permeabilidade magnética do vácuo \mu_{0}; (iii) valor da constante de proporcionalidade magnética do vácuo \mu_{0} / 4 \pi.

Passo 1

O enunciado pede três coisas. Vou listar claramente o que é solicitado e quais dados são fornecidos:
  • Pedidos:
    1. Expressar a força magnetostática sobre uma carga puntiforme de prova, com carga q_{0}(>0) e velocidade \mathbf{v}_{0}, devido à presença de outra carga puntiforme de carga q e velocidade \mathbf{v}. (Este item refere-se à Lei de Biot–Savart aplicada a uma carga em movimento e ao uso da força magnética da Lei de Lorentz.)
    2. Dar o valor da permeabilidade magnética do vácuo \mu_{0}.
    3. Dar o valor da constante \mu_{0}/4\pi.
  • Dados explícitos do enunciado que usarei:
    • Carga de prova: q_{0}>0 com velocidade \mathbf{v}_{0}.
    • Carga fonte: q com velocidade \mathbf{v}.
    • As cargas são puntiformes; o campo magnético produzido pela carga q será usado para calcular a força sobre q_{0}.
  • Observação sobre notação que vou usar nos passos seguintes (apenas definições):
    • \mathbf{r}_{q} = posição da carga q.
    • \mathbf{r}_{0} = posição da carga q_{0}.
    • \mathbf{r} = \mathbf{r}_{0}-\mathbf{r}_{q} = vetor que vai da carga fonte q até a carga de prova q_{0}.
    • r = \lVert \mathbf{r}\rVert e \hat{\mathbf{r}}=\mathbf{r}/r.

Passo 2

O que diz a Lei de Biot–Savart (forma apropriada para uma carga puntiforme em movimento) e como obter o campo magnético produzido por q.
  • A Lei de Biot–Savart, na sua forma para um elemento de corrente, dá o campo magnético \mathbf{B} produzido por um elemento de corrente. Uma carga puntiforme q em movimento com velocidade \mathbf{v} gera um campo magnético idêntico ao produzido por um elemento de corrente pontual; para o ponto de observação em \mathbf{r}_{0} temos a expressão:
\mathbf{B}(\mathbf{r}_{0})=\dfrac{\mu_{0}}{4\pi}\,\dfrac{q\,\mathbf{v}\times\hat{\mathbf{r}}}{r^{2}}.
  • Explicando cada símbolo na fórmula acima:
    • \mathbf{B}(\mathbf{r}_{0}) é o campo magnético no ponto onde está a carga de prova q_{0}.
    • \mu_{0} é a permeabilidade magnética do vácuo (valor numérico será dado depois).
    • q é a carga que se move e produz o campo.
    • \mathbf{v} é a velocidade da carga geradora q.
    • \hat{\mathbf{r}}=\dfrac{\mathbf{r}}{r} é o versor que aponta de q para q_{0}.
    • r=\lVert\mathbf{r}\rVert é a distância entre as cargas.
  • Observação algébrica útil: \dfrac{\mathbf{v}\times\hat{\mathbf{r}}}{r^{2}}=\dfrac{\mathbf{v}\times\mathbf{r}}{r^{3}}. Assim outra forma equivalente é
\mathbf{B}(\mathbf{r}_{0})=\dfrac{\mu_{0}}{4\pi}\,\dfrac{q\,\mathbf{v}\times\mathbf{r}}{r^{3}}.

Passo 3

Regra para obter a força magnética sobre a carga de prova: lei de Lorentz (componente magnética).
  • A força magnética que age sobre uma carga q_{0} movendo-se com velocidade \mathbf{v}_{0} num campo magnético \mathbf{B} é dada por
\mathbf{F}_{m}=q_{0}\,\mathbf{v}_{0}\times\mathbf{B}.
  • Unidades e interpretação:
    • \mathbf{F}_{m} tem unidade de newton ( \mathrm{N}).
    • A direção da força é dada pelo produto vetorial \mathbf{v}_{0}\times\mathbf{B} (regra da mão direita); a força é sempre perpendicular tanto à velocidade da carga de prova quanto ao campo magnético local.

Passo 4

Substituir o \mathbf{B} dado pela Lei de Biot–Savart na expressão da força magnética.
  • Partindo de \mathbf{B}(\mathbf{r}_{0})=\dfrac{\mu_{0}}{4\pi}\dfrac{q\,\mathbf{v}\times\mathbf{r}}{r^{3}} e usando \mathbf{F}_{m}=q_{0}\,\mathbf{v}_{0}\times\mathbf{B}, obtemos
\mathbf{F}_{m}=q_{0}\,\mathbf{v}_{0}\times\left(\dfrac{\mu_{0}}{4\pi}\dfrac{q\,\mathbf{v}\times\mathbf{r}}{r^{3}}\right).
  • Colocando os coeficientes fora do produto vetorial:
\mathbf{F}_{m}=\dfrac{\mu_{0}}{4\pi}\dfrac{q\,q_{0}}{r^{3}}\,\mathbf{v}_{0}\times(\mathbf{v}\times\mathbf{r}).
Esta é uma forma compacta e correta da força magnética entre as duas cargas puntiformes em movimento (força magnética apenas; despreza efeitos retardados/relativísticos além do nível magnetostático).

Passo 5

Simplificar a forma vetorial usando a identidade do produto triplo (identidade de Lagrange) e interpretar.
  • Identidade vetorial usada:
\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\mathbf{b}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})-\mathbf{c}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}).
  • Aplicando com \mathbf{a}=\mathbf{v}_{0}, \mathbf{b}=\mathbf{v}, \mathbf{c}=\mathbf{r}, obtemos
\mathbf{v}_{0}\times(\mathbf{v}\times\mathbf{r})=\mathbf{v}\,(\mathbf{v}_{0}\cdot\mathbf{r})-\mathbf{r}\,(\mathbf{v}_{0}\cdot\mathbf{v}).
  • Substituindo na expressão da força:
\mathbf{F}_{m}=\dfrac{\mu_{0}}{4\pi}\dfrac{q\,q_{0}}{r^{3}}\left[\mathbf{v}\,(\mathbf{v}_{0}\cdot\mathbf{r})-\mathbf{r}\,(\mathbf{v}_{0}\cdot\mathbf{v})\right].
  • Interpretação física rápida e dicas para a prova:
    • A força é perpendicular a \mathbf{v}_{0} somente quando \mathbf{v}_{0}\cdot\mathbf{r}=0 e \mathbf{v}_{0}\cdot\mathbf{v}=0 (situação especial). Em geral a força não precisa estar inteiramente perpendicular a \mathbf{v}_{0}.
    • Casos simples para checar raciocínio: se \mathbf{v}=\mathbf{0} (carga fonte estacionária) então \mathbf{B}=\mathbf{0} e \mathbf{F}_{m}=\mathbf{0}; se \mathbf{v} e \mathbf{v}_{0} são paralelos e \mathbf{r} perpendicular a eles, a forma pode simplificar — é útil para verificar sinais e direções na prova.
    • Lembre-se: isto é a componente magnetostática (ligeira aproximação não-relativística). Em problemas de prova de nível básico a forma acima é a exigida.

Passo 6

Valores numéricos padronizados em sistema SI (como normalmente usados em provas):
  • Valor usualmente adotado para a permeabilidade do vácuo:
\mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{N\cdot A^{-2}}\quad(\text{o mesmo que }4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H\cdot m^{-1}}).
  • Daí a constante \mu_{0}/4\pi vale
\dfrac{\mu_{0}}{4\pi}=1\times10^{-7}\\ \mathrm{N\cdot A^{-2}}.
  • Observação prática (para você não se assustar na prova): muitos exercícios usam diretamente \dfrac{\mu_{0}}{4\pi}=10^{-7} em unidades SI simplificadas; se o enunciado pede valores numéricos use essas formas.

Resposta

\mathbf{F}_{m}=\dfrac{\mu_{0}}{4\pi}\dfrac{q\,q_{0}}{r^{3}}\,\mathbf{v}_{0}\times(\mathbf{v}\times\mathbf{r})=\dfrac{\mu_{0}}{4\pi}\dfrac{q\,q_{0}}{r^{3}}\left[\mathbf{v}\,(\mathbf{v}_{0}\cdot\mathbf{r})-\mathbf{r}\,(\mathbf{v}_{0}\cdot\mathbf{v})\right]
\mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{N\cdot A^{-2}}
\dfrac{\mu_{0}}{4\pi}=1\times10^{-7}\\ \mathrm{N\cdot A^{-2}}

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