Teoria do Potencial - Defina e/ou expresse o que se pede: [0,60]
Carga Fonte → Potencial Elétrico: potencial elétrico em um certo ponto do espaço, produzido (i#) por uma carga puntiforme; (i#) por (N) cargas puntiformes (PS); e (ii#) por uma distribuição contínua de cargas (PS).
Carga Fonte → Potencial Elétrico: potencial elétrico em um certo ponto do espaço, produzido (i#) por uma carga puntiforme; (i#) por (N) cargas puntiformes (PS); e (ii#) por uma distribuição contínua de cargas (PS).
Passo 1
O enunciado pede que eu defina e escreva a expressão do potencial elétrico, em um certo ponto do espaço, produzido por três situações distintas:
- (i) por uma carga puntiforme isolada;
- (ii) por
cargas puntiformes (superposição); - (iii) por uma distribuição contínua de cargas.
Informações implícitas e convenções que vou usar (aceitas no enunciado):
- Trabalho em eletrostática (campos estáticos).
- O potencial será tomado com referência em infinito:
, salvo indicação contrária. - A constante eletrostática no vácuo será escrita como
e a constante aparecerá nas fórmulas. - Usarei um ponto de observação
para o lugar onde se quer o potencial e coordenadas para posições de cargas fontes quando necessário. - Todas as cargas são elétricas e eu permito que algumas fórmulas sejam adaptadas para densidade de linha
, superfície ou volume .
Passo 2
O que é potencial elétrico (no sentido que vou usar) — explicação conceitual e fórmula de definição:
- O potencial elétrico
em um ponto é a energia potencial elétrica por unidade de carga de prova colocada nesse ponto:
- Em termos de trabalho,
pode ser obtido como (definição prática):
onde
é o campo elétrico e o integral de linha é tomado de um ponto no infinito até
. Essa definição usa
.
- Observação importante: em eletrostática o campo é conservativo, logo esse integral é independente do caminho. Por isso dá para escolher um caminho simples (normalmente radial) para calcular o potencial.
Passo 3
Relação entre campo e potencial — fórmula útil para a prova:
- O campo elétrico e o potencial estão ligados por
Explicação: isso vem diretamente da definição por integral de linha e da propriedade de campo conservativo; no cálculo prático, ao conhecer
obtém-se
derivando espacialmente.
Passo 4
Potencial produzido por uma carga puntiforme — derivação passo a passo:
- Considere uma carga puntiforme
localizada em . O campo elétrico produzido por essa carga (lei de Coulomb) em um ponto é
- Para obter o potencial, uso a definição por integral de linha e escolho um caminho radial (a integral será mais simples porque o campo tem simetria radial em torno de
). A integral reduz-se a um integral escalar em variável radial saindo de até :
- Calculo a integral (mostrando cada passo):
onde
.
- Portanto, a expressão final para o potencial devido a uma carga puntiforme é
- Observações didáticas: a singularidade em
significa que o potencial tende a infinito no local da carga (isso é físico: energia tende a divergir ao aproximar cargas puntuais). O sinal do potencial segue o sinal de : , .
Passo 5
Potencial produzido por
cargas puntiformes — princípio da superposição e expressão:
- Eletricidade é linear no regime eletrostático; o trabalho total para trazer uma carga prova até
é soma dos trabalhos de cada fonte, logo o potencial total é soma dos potenciais de cada carga. - Se houver
cargas puntiformes localizadas em ( ), o potencial em é
- Explicação prática: basta somar termo a termo, cada termo tem a mesma forma que o potencial de uma carga única, avaliado à distância entre
e .
Passo 6
Potencial produzido por uma distribuição contínua de cargas — derivação via somatório e integral:
- Imagine quebrar a distribuição em pequenos elementos de carga
. Para cada elemento localizado em a contribuição elementar ao potencial em é
- Para uma distribuição volumétrica com densidade
vale . Somando (integrando) sobre todo o volume da distribuição, obtemos:
- Para distribuições de superfície ou linha, análoga substituição:
- superfície com densidade
:
- linha com densidade
:
- superfície com densidade
- Observação didática: essas integrais costumam exigir escolher coordenadas adequadas (cartesiana, cilíndrica, esférica) e aproveitar simetrias para resolver na prática.
Passo 7
Ligação com equações diferenciais úteis na prova — Poisson e Laplace:
- Se o potencial
for suficientemente suave e a densidade definida em todo o espaço, então satisfaz a equação de Poisson:
- No vácuo (ou regiões onde
) obtém-se a equação de Laplace:
- Essas equações são úteis quando se prefere resolver por métodos de condições de contorno em vez de integrar diretamente.
Passo 8
Dicas práticas para a prova (passo-a-passo de como aplicar essas fórmulas rapidamente):
- Identifique se a fonte é pontual, discreta (N cargas) ou contínua.
- Se for pontual, use diretamente a fórmula
. - Se forem
cargas, some os termos; se houver simetria (ex.: cargas iguais em vértices de polígono), explore-a para simplificar. - Se for contínua, escreva
na forma certa ( , ou ), escolha coordenadas e calcule a integral; sempre confira dimensões físicas. - Lembre que o potencial é escalar: soma simples, sem direções, o que costuma simplificar cálculos em comparação com o campo vetorial.
- Se o problema pede o campo a partir do potencial, use
.
Resposta
(i)
(ii)
(iii) (com versões análogas para
e
).
(ii)
(iii)