Teoria do Potencial - Defina e/ou expresse o que se pede: [0,60]
Carga Fonte → Potencial Elétrico: potencial elétrico em um certo ponto do espaço, produzido (i#) por uma carga puntiforme; (i#) por (N) cargas puntiformes (PS); e (ii#) por uma distribuição contínua de cargas (PS).

Passo 1

O enunciado pede que eu defina e escreva a expressão do potencial elétrico, em um certo ponto do espaço, produzido por três situações distintas:
  • (i) por uma carga puntiforme isolada;
  • (ii) por N cargas puntiformes (superposição);
  • (iii) por uma distribuição contínua de cargas.
Informações implícitas e convenções que vou usar (aceitas no enunciado):
  • Trabalho em eletrostática (campos estáticos).
  • O potencial será tomado com referência em infinito: V(\infty)=0, salvo indicação contrária.
  • A constante eletrostática no vácuo será escrita como \varepsilon_0 e a constante 1/(4\pi\varepsilon_0) aparecerá nas fórmulas.
  • Usarei um ponto de observação \mathbf{r} para o lugar onde se quer o potencial e coordenadas \mathbf{r}' para posições de cargas fontes quando necessário.
  • Todas as cargas são elétricas e eu permito que algumas fórmulas sejam adaptadas para densidade de linha \lambda, superfície \sigma ou volume \rho.

Passo 2

O que é potencial elétrico (no sentido que vou usar) — explicação conceitual e fórmula de definição:
  • O potencial elétrico V(\mathbf{r}) em um ponto \mathbf{r} é a energia potencial elétrica por unidade de carga de prova q_0 colocada nesse ponto:
V(\mathbf{r})=\frac{U(\mathbf{r})}{q_0}.
  • Em termos de trabalho, V(\mathbf{r}) pode ser obtido como (definição prática):
V(\mathbf{r})=-\int_{\infty}^{\mathbf{r}}\mathbf{E}(\mathbf{s})\cdot d\mathbf{s},
onde \mathbf{E} é o campo elétrico e o integral de linha é tomado de um ponto no infinito até \mathbf{r}. Essa definição usa V(\infty)=0.
  • Observação importante: em eletrostática o campo é conservativo, logo esse integral é independente do caminho. Por isso dá para escolher um caminho simples (normalmente radial) para calcular o potencial.

Passo 3

Relação entre campo e potencial — fórmula útil para a prova:
  • O campo elétrico e o potencial estão ligados por
\mathbf{E}(\mathbf{r})=-\nabla V(\mathbf{r}).
Explicação: isso vem diretamente da definição por integral de linha e da propriedade de campo conservativo; no cálculo prático, ao conhecer V obtém-se \mathbf{E} derivando espacialmente.

Passo 4

Potencial produzido por uma carga puntiforme — derivação passo a passo:
  • Considere uma carga puntiforme q localizada em \mathbf{r}_0. O campo elétrico produzido por essa carga (lei de Coulomb) em um ponto \mathbf{r} é
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,q\,\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_0}{\lvert \mathbf{r}-\mathbf{r}_0\rvert^{3}}.
  • Para obter o potencial, uso a definição por integral de linha e escolho um caminho radial (a integral será mais simples porque o campo tem simetria radial em torno de \mathbf{r}_0). A integral reduz-se a um integral escalar em variável radial s saindo de s=\infty até s=\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}_0\rvert:
V(\mathbf{r})=-\int_{\infty}^{\mathbf{r}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{s} =\,-\int_{\infty}^{\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}_0\rvert}\left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}q\frac{1}{s^{2}}\right)ds.
  • Calculo a integral (mostrando cada passo):
-\int_{\infty}^{R}\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}q\frac{1}{s^{2}}\,ds = -\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left[-\frac{1}{s}\right]_{s=\infty}^{s=R} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{1}{R},
onde R=\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}_0\rvert.
  • Portanto, a expressão final para o potencial devido a uma carga puntiforme é
\boxed{V(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}_0\rvert}.}
  • Observações didáticas: a singularidade em \mathbf{r}=\mathbf{r}_0 significa que o potencial tende a infinito no local da carga (isso é físico: energia tende a divergir ao aproximar cargas puntuais). O sinal do potencial segue o sinal de q: q>0\Rightarrow V>0, q<0\Rightarrow V<0.

Passo 5

Potencial produzido por N cargas puntiformes — princípio da superposição e expressão:
  • Eletricidade é linear no regime eletrostático; o trabalho total para trazer uma carga prova até \mathbf{r} é soma dos trabalhos de cada fonte, logo o potencial total é soma dos potenciais de cada carga.
  • Se houver N cargas puntiformes q_i localizadas em \mathbf{r}_i ( i=1,\dots,N), o potencial em \mathbf{r} é
\boxed{V(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{i=1}^{N}\frac{q_i}{\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}_i\rvert}.}
  • Explicação prática: basta somar termo a termo, cada termo tem a mesma forma que o potencial de uma carga única, avaliado à distância entre \mathbf{r} e \mathbf{r}_i.

Passo 6

Potencial produzido por uma distribuição contínua de cargas — derivação via somatório e integral:
  • Imagine quebrar a distribuição em pequenos elementos de carga \,dq. Para cada elemento localizado em \mathbf{r}' a contribuição elementar ao potencial em \mathbf{r} é
dV(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq}{\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}'\rvert}.
  • Para uma distribuição volumétrica com densidade \rho(\mathbf{r}') vale dq=\rho(\mathbf{r}')\,dV'. Somando (integrando) sobre todo o volume da distribuição, obtemos:
\boxed{V(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{\text{volume}}\frac{\rho(\mathbf{r}')}{\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}'\rvert}\,dV'.}
  • Para distribuições de superfície ou linha, análoga substituição:
    • superfície com densidade \sigma(\mathbf{r}'):
    V(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{\text{superfície}}\frac{\sigma(\mathbf{r}')}{\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}'\rvert}\,dS',í
    • linha com densidade \lambda(\mathbf{r}'):
    V(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{\text{linha}}\frac{\lambda(\mathbf{r}')}{\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}'\rvert}\,dl'.
  • Observação didática: essas integrais costumam exigir escolher coordenadas adequadas (cartesiana, cilíndrica, esférica) e aproveitar simetrias para resolver na prática.

Passo 7

Ligação com equações diferenciais úteis na prova — Poisson e Laplace:
  • Se o potencial V for suficientemente suave e a densidade \rho definida em todo o espaço, então V satisfaz a equação de Poisson:
\boxed{\nabla^{2}V(\mathbf{r})=-\frac{\rho(\mathbf{r})}{\varepsilon_0}.}
  • No vácuo (ou regiões onde \rho=0) obtém-se a equação de Laplace:
\nabla^{2}V(\mathbf{r})=0.
  • Essas equações são úteis quando se prefere resolver por métodos de condições de contorno em vez de integrar diretamente.

Passo 8

Dicas práticas para a prova (passo-a-passo de como aplicar essas fórmulas rapidamente):
  • Identifique se a fonte é pontual, discreta (N cargas) ou contínua.
  • Se for pontual, use diretamente a fórmula V=(1/4\pi\varepsilon_0)q/r.
  • Se forem N cargas, some os termos; se houver simetria (ex.: cargas iguais em vértices de polígono), explore-a para simplificar.
  • Se for contínua, escreva dq na forma certa ( \rho dV, \sigma dS ou \lambda dl), escolha coordenadas e calcule a integral; sempre confira dimensões físicas.
  • Lembre que o potencial é escalar: soma simples, sem direções, o que costuma simplificar cálculos em comparação com o campo vetorial.
  • Se o problema pede o campo a partir do potencial, use \mathbf{E}=-\nabla V.

Resposta

(i) \displaystyle V(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}_0\rvert}.
(ii) \displaystyle V(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{i=1}^{N}\frac{q_i}{\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}_i\rvert}.
(iii) \displaystyle V(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{\rho(\mathbf{r}')}{\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}'\rvert}\,dV' (com versões análogas para \sigma e \lambda).

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