Q 9. (Ação da força magnética sobre uma corrente) Um longo fio se estende ao longo do eixo y e conduz uma corrente de 1,0 A na direção +y. O fio está sujeito a um campo magnético uniforme \vec{B}=(0,10 \vec{x}-0,20 \vec{y}+0,30 \vec{z}). Calcule as componentes da força por metro de comprimento atuante no fio.

Passo 1

O fio é retilíneo e se estende ao longo do eixo y, conduzindo corrente I=1{,}0\;\mathrm{A} no sentido +y. Queremos a força por unidade de comprimento, e para um elemento de fio de comprimento d\ell vale
d\vec{F}=I\,d\vec{\ell}\times\vec{B}.
Como pedem a força por metro, vamos tomar d\ell=1\;\mathrm{m}.

Passo 2

Para um trecho de 1\;\mathrm{m} ao longo do eixo y, o vetor de comprimento é
d\vec{\ell} = (0,\,1,\,0)\;\mathrm{m}.

Passo 3

O campo magnético dado é \vec{B}=(10,\,-20,\,30)\;\mathrm{T}. Calculamos o produto vetorial
d\vec{\ell}\times\vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z}\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 10 & -20 & 30 \end{vmatrix} = \bigl(1\cdot30 - 0\cdot(-20),\;0\cdot10 - 0\cdot30,\;0\cdot(-20) - 1\cdot10\bigr) = (30,\,0,\,-10).

Passo 4

Multiplicando por I=1{,}0\;\mathrm{A} obtemos a força por metro de fio:
\frac{\vec{F}}{\ell} = I\,(d\vec{\ell}\times\vec{B}) =1 \times (30,\,0,\,-10) =(30,\,0,\,-10)\;\mathrm{N/m}.

Resposta

F_x=30\;\mathrm{N/m},\quad F_y=0,\quad F_z=-10\;\mathrm{N/m}.

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