A certain crystal has a set of planes spaced 0.30 nm apart. A beam of neutrons strikes the Crystal at normal incidence and the first maximum of the diffraction pattern occurs at \varphi=42^{\circ}. What are the de Broglie wavelength and kinetic energy of the neutrons?

Passo 1

O enunciado diz que temos planos cristalinos com espaçamento d=0{,}30 nm e que o primeiro máximo de difração (ordem n=1) ocorre para ângulo \varphi=42^\circ. Vamos usar a Lei de Bragg para obter a onda de Broglie dos nêutrons e em seguida calcular sua energia cinética elétrica não-relativística.

Passo 2

A Lei de Bragg para reflexão em cristais é
n\,\lambda = 2\,d\,\sin\varphi,
onde n é a ordem do máximo. Para n=1 temos
\lambda = 2\,d\,\sin\varphi.

Passo 3

Substituindo d=0{,}30 nm e \varphi=42^\circ, lembrando que 1 nm =10^{-9} m,
\lambda = 2\times(0{,}30\times10^{-9}\,\mathrm{m})\times\sin(42^\circ) = 0{,}60\times10^{-9}\,\mathrm{m}\times0{,}6691 \approx 0{,}40\times10^{-9}\,\mathrm{m} = 0{,}40\,\mathrm{nm}.

Passo 4

Para nêutrons não-relativísticos a relação de de Broglie é
p = \frac{h}{\lambda},
e a energia cinética é
K = \frac{p^2}{2m} = \frac{h^2}{2\,m\,\lambda^2},
onde h=6{,}626\times10^{-34} J\cdot s é a constante de Planck e m=1{,}675\times10^{-27} kg é a massa do nêutron.

Passo 5

Substituindo numericamente:
K = \frac{(6{,}626\times10^{-34})^2}{2\times(1{,}675\times10^{-27})\times(0{,}40\times10^{-9})^2} \approx 8{,}1\times10^{-22}\,\mathrm{J}.
Convertendo para elétron-volt ( 1\,\mathrm{eV}=1{,}602\times10^{-19}\,\mathrm{J}):
K \approx \frac{8{,}1\times10^{-22}\,\mathrm{J}}{1{,}602\times10^{-19}\,\mathrm{J/eV}} \approx 5{,}1\times10^{-3}\,\mathrm{eV} = 5{,}1\,\mathrm{meV}.

Resposta

O comprimento de onda é \lambda\approx0{,}40 nm e a energia cinética é K\approx8{,}1\times10^{-22} J \approx5{,}1 meV.

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