A aceleração angular de uma roda é a =8,0 t^{4}-4,0 t, com a em radianos por segundo ao quadrado e tem segundos. No instante \mathrm{t}=0, a roda tem uma velocidade angular de +2,0 \mathrm{rad} / \mathrm{s} e uma posição angular de +4,0 \mathrm{rad}. Escreva expressões (a) para a velocidade angular (em rad/s) e (b) para a posição angular (em rad) em função do tempo (em s).

Passo 1

O que o problema pede:
(a) Escrever a expressão para a velocidade angular em função do tempo.
(b) Escrever a expressão para a posição angular em função do tempo.
Informações dadas (tudo extraído do enunciado):
a(t)=8,0\,t^{4}-4,0\,t \quad\text{(aceleração angular, em rad/s}^2\text{)}çã
\text{o tempo }t\text{ está em s}á
\omega(0)=+2,0\\ \text{rad/s}
\theta(0)=+4,0\\ \text{rad}

Passo 2

Relações fundamentais que vamos usar (explicando cada símbolo):
a(t)=\frac{d\omega}{dt}
Aqui \omega(t) é a velocidade angular (em rad/s) e a(t) é a aceleração angular (em rad/s ^2). A igualdade significa que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo.
Também temos
\omega(t)=\frac{d\theta}{dt}
onde \theta(t) é a posição angular (em rad). Isso significa que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.
Como queremos \omega(t) a partir de a(t) e \theta(t) a partir de \omega(t), vamos integrar. Integração aqui significa “achar uma função cuja derivada é a dada”. Cada integração adiciona uma constante arbitrária (constante de integração) que determinamos usando as condições iniciais fornecidas ( \omega(0) e \theta(0)).

Passo 3

Integramos a(t) para obter \omega(t). Integração termo a termo:
\omega(t)=\int a(t)\,dt=\int\bigl(8,0\,t^{4}-4,0\,t\bigr)\,dt + C
Calculando cada integral:
\int 8,0\,t^{4}\,dt = 8,0\cdot\frac{t^{5}}{5}=\frac{8,0}{5}\,t^{5}=1,6\,t^{5}
\int -4,0\,t\,dt = -4,0\cdot\frac{t^{2}}{2}=-2,0\,t^{2}
Portanto, antes de aplicar a condição inicial:
\omega(t)=1,6\,t^{5}-2,0\,t^{2}+C

Passo 4

Determinar a constante C usando \omega(0)=2,0. Substituímos t=0:
\omega(0)=1,6\cdot 0^{5}-2,0\cdot 0^{2}+C = C
Como \omega(0)=2,0, temos C=2,0. Assim:
\omega(t)=1,6\,t^{5}-2,0\,t^{2}+2,0
(essa é a expressão final para a velocidade angular; unidades em rad/s)

Passo 5

Agora integramos \omega(t) para obter \theta(t):
\theta(t)=\int \omega(t)\,dt=\int\bigl(1,6\,t^{5}-2,0\,t^{2}+2,0\bigr)\,dt + D
Calculamos termo a termo:
\int 1,6\,t^{5}\,dt = 1,6\cdot\frac{t^{6}}{6}=\frac{1,6}{6}\,t^{6}=\frac{8/5}{6}\,t^{6}=\frac{8}{30}\,t^{6}=\frac{4}{15}\,t^{6}
(obs.: demonstrei a equivalência 1,6=\tfrac{8}{5} para obter a fração exata \tfrac{4}{15}.)
\int -2,0\,t^{2}\,dt = -2,0\cdot\frac{t^{3}}{3}=-\frac{2}{3}\,t^{3}
\int 2,0\,dt = 2,0\,t
Portanto, antes de aplicar a condição inicial:
\theta(t)=\frac{4}{15}\,t^{6}-\frac{2}{3}\,t^{3}+2,0\,t + D

Passo 6

Determinar a constante D usando \theta(0)=4,0. Substituímos t=0:
\theta(0)=\frac{4}{15}\cdot 0^{6}-\frac{2}{3}\cdot 0^{3}+2,0\cdot 0 + D = D
Como \theta(0)=4,0, temos D=4,0. Assim:
\theta(t)=\frac{4}{15}\,t^{6}-\frac{2}{3}\,t^{3}+2,0\,t+4,0
(Essa é a expressão final para a posição angular; unidades em rad)

Resposta

(a) \displaystyle \omega(t)=1,6\,t^{5}-2,0\,t^{2}+2,0
(b) \displaystyle \theta(t)=\frac{4}{15}\,t^{6}-\frac{2}{3}\,t^{3}+2,0\,t+4,0

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