A aceleração angular de uma roda é a
, com a em radianos por segundo ao quadrado e tem segundos. No instante
, a roda tem uma velocidade angular de
e uma posição angular de
. Escreva expressões (a) para a velocidade angular (em rad/s) e (b) para a posição angular (em rad) em função do tempo (em s).
Passo 1
O que o problema pede:
(a) Escrever a expressão para a velocidade angular em função do tempo.
(b) Escrever a expressão para a posição angular em função do tempo.
(a) Escrever a expressão para a velocidade angular em função do tempo.
(b) Escrever a expressão para a posição angular em função do tempo.
Informações dadas (tudo extraído do enunciado):
Passo 2
Relações fundamentais que vamos usar (explicando cada símbolo):
Aqui
é a velocidade angular (em rad/s) e
é a aceleração angular (em rad/s
). A igualdade significa que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo.
Também temos
onde
é a posição angular (em rad). Isso significa que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.
Como queremos
a partir de
e
a partir de
, vamos integrar. Integração aqui significa “achar uma função cuja derivada é a dada”. Cada integração adiciona uma constante arbitrária (constante de integração) que determinamos usando as condições iniciais fornecidas (
e
).
Passo 3
Integramos
para obter
. Integração termo a termo:
Calculando cada integral:
Portanto, antes de aplicar a condição inicial:
Passo 4
Determinar a constante
usando
. Substituímos
:
Como
, temos
. Assim:
(essa é a expressão final para a velocidade angular; unidades em rad/s)
Passo 5
Agora integramos
para obter
:
Calculamos termo a termo:
(obs.: demonstrei a equivalência
para obter a fração exata
.)
Portanto, antes de aplicar a condição inicial:
Passo 6
Determinar a constante
usando
. Substituímos
:
Como
, temos
. Assim:
(Essa é a expressão final para a posição angular; unidades em rad)
Resposta
(a)
(b)