Uma partícula A e uma partícula B são empurradas uma contra a outra, comprimindo uma mola colocada entre as duas. Quando as partículas são liberadas, a mola as arremessa em sentidos opostos. A massa de A é 5,00 vezes a massa de B e a energia armazenada na mola era 100 J . Suponha que a mola tem massa desprezível e que toda a energia armazenada é transferida para as partículas. Depois de terminada a transferência, qual é a energia cinética
da partícula A

Passo 1

O enunciado pergunta: qual é a energia cinética da partícula A depois que a mola liberou toda a sua energia? \n
Informações dadas pelo enunciado: \n
  • A massa da partícula A é m_A = 5{,}00\,m_B. \n
  • A energia armazenada na mola (toda transferida para as partículas) é E_{\text{mola}} = 100\\ \mathrm{J}. \n
  • A mola tem massa desprezível e toda a energia da mola vira energia cinética das partículas (ou seja, não há perdas). \n
  • As partículas se movem em sentidos opostos após a liberação. \n
    Pedido: encontrar a energia cinética da partícula A, que chamaremos de K_A.

Passo 2

Vamos listar as leis e fórmulas que precisamos usar (explicando cada símbolo): \n
  • Energia cinética de uma partícula: K=\tfrac{1}{2} m v^{2} onde m é a massa da partícula e v é a velocidade da partícula (valor escalar da velocidade). \n
  • Conservação da energia mecânica (aqui aplicada): a energia inicialmente armazenada na mola transforma-se nas energias cinéticas das duas partículas, portanto K_A+K_B=E_{\text{mola}}. Aqui K_B é a energia cinética da partícula B. \n
  • Conservação do momento linear: se o sistema não recebe forças externas horizontais relevantes, o momento total se conserva. Inicialmente as partículas estão em repouso, então o momento total inicial é zero; portanto o momento total final também é zero: m_A v_A + m_B v_B = 0. Como elas vão em direções opostas, em módulo isso dá m_A |v_A| = m_B |v_B|.

Passo 3

A partir da conservação do momento, obtemos a relação entre as velocidades (em módulo): \n
|v_A|=\frac{m_B}{m_A}\,|v_B|.
Explicação: como os sinais das velocidades são opostos, somando vetorialmente dá zero; tomando módulos e isolando v_A chegamos à relação acima. Essa relação diz que a massa maior terá velocidade menor, e a massa menor terá velocidade maior — faz sentido físico.

Passo 4

Vamos relacionar as energias cinéticas usando uma abordagem muito direta e elegante: usar o momento comum p (em módulo). Defina p = m_A |v_A| = m_B |v_B|. \n
Então as energias cinéticas podem ser escritas como função de p: \n
K_A=\frac{p^{2}}{2m_A},\qquad K_B=\frac{p^{2}}{2m_B}.
A soma das duas deve ser a energia total fornecida pela mola, logo K_A+K_B=\frac{p^{2}}{2}\left(\frac{1}{m_A}+\frac{1}{m_B}\right)=E_{\text{mola}}.
Isolando p^{2} obtemos:
p^{2}=\frac{2E_{\text{mola}}}{\dfrac{1}{m_A}+\dfrac{1}{m_B}} =\frac{2E_{\text{mola}}\,m_A m_B}{m_A+m_B}.

Passo 5

Agora encontramos K_A substituindo p^{2} em K_A=\dfrac{p^{2}}{2m_A}: \n
K_A=\frac{1}{2m_A}\cdot\frac{2E_{\text{mola}}\,m_A m_B}{m_A+m_B} =E_{\text{mola}}\cdot\frac{m_B}{m_A+m_B}.
Interpretação: a fração da energia total que vai para A é \dfrac{m_B}{m_A+m_B}. Isso também pode ser visto intuitivamente pelo fato de que a energia se divide inversamente proporcional às massas quando o momento é o mesmo para ambas.

Passo 6

Agora substituímos os valores numéricos. Como m_A=5{,}00\,m_B, temos m_A+m_B=5{,}00\,m_B+m_B=6{,}00\,m_B. Portanto \n
\frac{m_B}{m_A+m_B}=\frac{m_B}{6{,}00\,m_B}=\frac{1}{6{,}00}.
Logo
K_A=E_{\text{mola}}\cdot\frac{1}{6{,}00}=100\cdot\frac{1}{6{,}00}=\frac{100}{6{,}00}=\frac{50}{3}\\ \mathrm{J}.
Em forma decimal com três algarismos significativos: K_A=16{,}7\\ \mathrm{J}.

Resposta

K_A=16{,}7\\ \mathrm{J}

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