Uma partícula A e uma partícula B são empurradas uma contra a outra, comprimindo uma mola colocada entre as duas. Quando as partículas são liberadas, a mola as arremessa em sentidos opostos. A massa de A é 5,00 vezes a massa de B e a energia armazenada na mola era 100 J . Suponha que a mola tem massa desprezível e que toda a energia armazenada é transferida para as partículas. Depois de terminada a transferência, qual é a energia cinética
da partícula B ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem precisa.
  • Duas partículas A e B estão comprimindo uma mola entre elas e, quando liberadas, a mola arremessa as duas em sentidos opostos.
  • A massa de A é 5{,}00 vezes a massa de B. Vou escrever isso como \displaystyle m_A = 5{,}00\,m_B.
  • A energia armazenada na mola (e que é totalmente transferida às partículas) é \displaystyle 100\\ \text{J}.
  • A massa da mola é desprezível e toda a energia da mola vai para as partículas (ou seja, energia da mola = energia cinética total das partículas depois).
O que o problema pede: determinar a energia cinética da partícula B depois da transferência de energia da mola.

Passo 2

Definimos variáveis claras para organizar a resolução (sempre bom para prova):
m_A,\\ m_B
são as massas de A e B;
v_A,\\ v_B
são as velocidades finais (após a liberação) de A e B — note que elas têm sinais opostos porque as partículas seguem sentidos contrários;
K_A,\\ K_B
são as energias cinéticas finais de A e B. Lembremos da fórmula elemental da energia cinética:
K=\frac{1}{2}mv^{2},
onde m é a massa e v a velocidade do corpo.

Passo 3

Observação física importante (que usaremos): como a mola e as forças que atuaem entre A e B são internas ao sistema formado pelas duas partículas, o momento linear total do sistema é conservado durante a liberação (presumimos que não há forças externas significativas). Se antes da liberação o conjunto estava em repouso relativo (situação usual do enunciado), o momento total inicial é zero, logo o momento total final também é zero. Escrevendo isso:
m_A v_A + m_B v_B = 0.
Dessa equação segue a relação entre as velocidades:
v_A = -\,\frac{m_B}{m_A}\,v_B.
Expliquei: o sinal negativo indica sentidos opostos; o módulo da velocidade de A é \dfrac{m_B}{m_A} vezes o de B.

Passo 4

Agora relacionamos as energias cinéticas. Pela definição:
K_A=\frac{1}{2}m_A v_A^{2},\qquad K_B=\frac{1}{2}m_B v_B^{2}.
Queremos escrever K_A em função de K_B usando a relação das velocidades do Passo 3. Substituímos v_A por -\dfrac{m_B}{m_A}v_B (o quadrado elimina o sinal):

Passo 5

Substituindo:
K_A=\frac{1}{2}m_A\left(-\frac{m_B}{m_A}v_B\right)^{2} =\frac{1}{2}m_A\left(\frac{m_B^{2}}{m_A^{2}}v_B^{2}\right) =\frac{1}{2}\frac{m_B^{2}}{m_A}v_B^{2}.
Observe que
K_B=\frac{1}{2}m_B v_B^{2}.
Dividindo K_A por K_B para achar uma relação simples:
\frac{K_A}{K_B} =\frac{\displaystyle\frac{1}{2}\frac{m_B^{2}}{m_A}v_B^{2}}{\displaystyle\frac{1}{2}m_B v_B^{2}} =\frac{m_B}{m_A}.
Logo:
K_A=\frac{m_B}{m_A}\,K_B.
Interpretação rápida: a razão das energias cinéticas é inversa à razão das massas (a partícula mais leve fica com mais energia).

Passo 6

Agora usamos a informação numérica \displaystyle m_A=5{,}00\,m_B. Substituindo na relação anterior:
K_A=\frac{m_B}{m_A}\,K_B=\frac{m_B}{5{,}00\,m_B}\,K_B=\frac{1}{5{,}00}\,K_B.
Portanto
K_A=\frac{1}{5}K_B.
Como toda a energia da mola vira energia cinética total, vale:
K_A+K_B=100\\ \text{J}.
Substituindo K_A=\dfrac{1}{5}K_B obtemos:
\frac{1}{5}K_B+K_B=\frac{6}{5}K_B=100\\ \text{J}.
Isolando K_B:
K_B=100\cdot\frac{5}{6}=\frac{500}{6}\\ \text{J}=\frac{250}{3}\\ \text{J}.

Passo 7

Calculemos o valor numérico aproximado para usar na prova e para conferir:
\frac{250}{3}\\ \text{J}\approx 83{,}33\\ \text{J}.
Como checagem rápida, K_A=\dfrac{1}{5}K_B\approx 16{,}67\\ \text{J} e a soma 83{,}33+16{,}67=100\\ \text{J}, conferindo que a energia total bate.

Resposta

K_B=\dfrac{250}{3}\\ \text{J}\approx 83{,}33\\ \text{J}

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