Uma polia, com um momento de inércia de
em relação ao eixo e um raio de 30 cm , é submetida a uma força aplicada tangencialmente à borda. O módulo da força varia no tempo de acordo com a equação
, com F em newtons e t em segundos. A polia está inicialmente em repouso. Qual é (a) a aceleração angular e (b) a velocidade angular da polia no instante
?
Passo 1
O enunciado pergunta duas coisas:
- (a) Qual é a aceleração angular da polia no instante
? - (b) Qual é a velocidade angular da polia no instante
?
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
A força aplicada tangencialmente varia com o tempo conforme (o enunciado deu essa expressão):
Condição inicial (dada no enunciado):
Passo 2
Entendendo a física e as fórmulas que vamos usar (aulas rápidas e diretas):
- Uma força tangencial aplicada na borda da polia produz um torque (ou momento da força) dado por:
Aqui
é o torque em newton·metro,
é a força tangencial em newtons e
é o raio da polia em metros.
- A relação entre torque, momento de inércia e aceleração angular é a segunda lei rotacional (análogo de
para rotação):
onde
é o momento de inércia (em
) e
é a aceleração angular (em
).
Portanto, isolando
:
Isto nos dá a função
em termos de
,
e
.
Passo 3
Aplicando os valores numéricos para obter
.
Primeiro calcule o fator
:
Faço a conta passo a passo:
. Logo
Portanto
Explicando cada termo: o
vem de
, o
é a força dada. Multiplicando:
Agora avalio em
:
Portanto
Passo 4
Cálculo da velocidade angular
sabendo a aceleração angular.
Relação entre aceleração angular e velocidade angular:
Como
, a velocidade angular no tempo
é a integral de
desde
até
:
Usando
, calculo a primitiva:
Com a condição inicial
, não há constante adicional.
Agora avalio em
:
Portanto
Passo 5
Checagem rápida de unidades e plausibilidade:
-
ficou em e em , como esperado. - Os números são grandes porque o momento de inércia é pequeno e a força aumenta com
; matematicamente está correto. Não pule etapas na prova: sempre calcule , escreva e depois integre para .
Resposta
(a)
(b)
(b)