Uma polia, com um momento de inércia de 3,0.10^{-3} \mathrm{~kg} . \mathrm{m}^{2} em relação ao eixo e um raio de 30 cm , é submetida a uma força aplicada tangencialmente à borda. O módulo da força varia no tempo de acordo com a equação \mathrm{F}=50+30 \mathrm{t}^{2}, com F em newtons e t em segundos. A polia está inicialmente em repouso. Qual é (a) a aceleração angular e (b) a velocidade angular da polia no instante \mathrm{t}=3,0 \mathrm{~s} ?

Passo 1

O enunciado pergunta duas coisas:
  • (a) Qual é a aceleração angular da polia no instante \,t=3{,}0\\ \mathrm{s}\,?
  • (b) Qual é a velocidade angular da polia no instante \,t=3{,}0\\ \mathrm{s}\,?
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
I = 3{,}0\cdot 10^{-3}\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}
R = 0{,}30\\ \mathrm{m}
A força aplicada tangencialmente varia com o tempo conforme (o enunciado deu essa expressão):
F(t)=50 + 30\,t^{2}\\ \mathrm{N}
Condição inicial (dada no enunciado):
\omega(0)=0\quad\text{(a polia parte do repouso)}

Passo 2

Entendendo a física e as fórmulas que vamos usar (aulas rápidas e diretas):
  • Uma força tangencial aplicada na borda da polia produz um torque (ou momento da força) dado por:
\tau(t)=F(t)\,R
Aqui \tau é o torque em newton·metro, F(t) é a força tangencial em newtons e R é o raio da polia em metros.
  • A relação entre torque, momento de inércia e aceleração angular é a segunda lei rotacional (análogo de \,F=ma\, para rotação):
\tau(t)=I\,\alpha(t)
onde I é o momento de inércia (em \mathrm{kg\cdot m^{2}}) e \alpha(t) é a aceleração angular (em \mathrm{rad/s^{2}}).
Portanto, isolando \alpha(t):
\alpha(t)=\frac{\tau(t)}{I}=\frac{F(t)\,R}{I}.
Isto nos dá a função \alpha(t) em termos de F(t), R e I.

Passo 3

Aplicando os valores numéricos para obter \alpha(t).
Primeiro calcule o fator \dfrac{R}{I}:
\frac{R}{I}=\frac{0{,}30}{3{,}0\cdot 10^{-3}}.
Faço a conta passo a passo: 3{,}0\cdot10^{-3}=0{,}003. Logo
\frac{0{,}30}{0{,}003}=100.
Portanto
\alpha(t)=100\bigl(50+30\,t^{2}\bigr).
Explicando cada termo: o 100 vem de R/I, o (50+30t^{2}) é a força dada. Multiplicando:
\alpha(t)=100\cdot50 + 100\cdot30\,t^{2}=5000 + 3000\,t^{2}\quad\bigl(\mathrm{rad/s^{2}}\bigr).
Agora avalio em \,t=3{,}0\\ \mathrm{s}\,:
\alpha(3)=5000 + 3000\cdot 3^{2}=5000 + 3000\cdot 9=5000 + 27000=32000.
Portanto
\alpha(3)=32000\\ \mathrm{rad/s^{2}}.

Passo 4

Cálculo da velocidade angular \omega(t) sabendo a aceleração angular.
Relação entre aceleração angular e velocidade angular:
\alpha(t)=\frac{d\omega}{dt}.
Como \omega(0)=0, a velocidade angular no tempo t é a integral de \alpha(t) desde 0 até t:
\omega(t)=\int_{0}^{t}\alpha(t')\,dt'.
Usando \alpha(t)=5000 + 3000\,t^{2}, calculo a primitiva:
\int (5000 + 3000\,t^{2})\,dt = 5000\,t + 3000\cdot\frac{t^{3}}{3}=5000\,t + 1000\,t^{3}.
Com a condição inicial \omega(0)=0, não há constante adicional.
Agora avalio em t=3{,}0\\ \mathrm{s}:
\omega(3)=5000\cdot 3 + 1000\cdot 3^{3}=15000 + 1000\cdot 27=15000 + 27000=42000.
Portanto
\omega(3)=42000\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

Checagem rápida de unidades e plausibilidade:
  • \alpha ficou em \mathrm{rad/s^{2}} e \omega em \mathrm{rad/s}, como esperado.
  • Os números são grandes porque o momento de inércia é pequeno e a força aumenta com t^{2}; matematicamente está correto. Não pule etapas na prova: sempre calcule R/I, escreva \alpha(t) e depois integre para \omega(t).

Resposta

(a) \alpha(3)=32000\\ \mathrm{rad/s^{2}}
(b) \omega(3)=42000\\ \mathrm{rad/s}

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