A aceleração de certo foguete é dada por
, em que
é uma constante positiva. Determine:
A função geral da posição,
.
A função geral da posição,
Passo 1
Beleza, galera! Temos aqui um exercício sobre movimento, mais especificamente sobre aceleração. O enunciado diz que a aceleração de um foguete é dada por $ a = b t^{3} $, onde $ b $ é uma constante positiva. Nosso objetivo é encontrar a função da posição $ x(t) $ nesse caso. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integração, já que aceleração está relacionada às derivadas da velocidade e da posição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que aceleração ($ a
v
t $):
Dado que $ a = b t^{3} $, podemos escrever:
Para encontrar a velocidade $ v(t) $, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo:
Passo 3
Vamos calcular essa integral:
Sabemos que:
Aplicando isso:
Aqui, $ C $ é a constante de integração, que representa a velocidade inicial. Mas como não temos informações sobre a velocidade inicial, vamos manter $ C $ na expressão.
Passo 4
Agora, sabemos que a velocidade $ v(t) $ é a derivada da posição $ x(t) $:
Então, temos:
Para encontrar $ x(t) $, vamos integrar a velocidade em relação ao tempo:
Passo 5
Calculando essa integral:
Aqui, $ D $ é outra constante de integração, que representa a posição inicial. Assim, a função geral da posição fica assim.
Resposta
A função geral da posição é:
onde $ C $ e $ D $ são constantes de integração que dependem das condições iniciais do movimento.