A aceleração de certo foguete é dada por a=b t^3, em que b é uma constante positiva. Determine:
A função geral da posição, x(t).

Passo 1

Beleza, galera! Temos aqui um exercício sobre movimento, mais especificamente sobre aceleração. O enunciado diz que a aceleração de um foguete é dada por $ a = b t^{3} $, onde $ b $ é uma constante positiva. Nosso objetivo é encontrar a função da posição $ x(t) $ nesse caso. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integração, já que aceleração está relacionada às derivadas da velocidade e da posição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que aceleração ($ a a é v v çã t $):
t
Dado que $ a = b t^{3} $, podemos escrever:
a = dvdt
Para encontrar a velocidade $ v(t) $, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo:
a = b t^3

Passo 3

Vamos calcular essa integral:
v(t) = b integral t^3 , dt
Sabemos que:
integral t^n , dt = t^n+1n+1 + C
Aplicando isso:
v(t) = b ( t^44 ) + C
v(t) = b t^44 + C
Aqui, $ C $ é a constante de integração, que representa a velocidade inicial. Mas como não temos informações sobre a velocidade inicial, vamos manter $ C $ na expressão.

Passo 4

Agora, sabemos que a velocidade $ v(t) $ é a derivada da posição $ x(t) $:
v(t)
Então, temos:
x(t)
Para encontrar $ x(t) $, vamos integrar a velocidade em relação ao tempo:
v(t) = dxdt

Passo 5

Calculando essa integral:
x(t) = b4 integral t^4 , dt + integral C , dt
x(t) = b4 ( t^55 ) + C t + D
x(t) = b t^520 + C t + D
Aqui, $ D $ é outra constante de integração, que representa a posição inicial. Assim, a função geral da posição fica assim.

Resposta

A função geral da posição é:
x(t) = b t^520 + C t + D
onde $ C $ e $ D $ são constantes de integração que dependem das condições iniciais do movimento.

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