A aceleração de certo foguete é dada por a=b t^3, em que b é uma constante positiva. Determine:
A posição e a velocidade em t=5,0 s, considerando que o foguete saiu de x=10 m, a partir do repouso e que a constante b=3,0 m / s^5.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a aceleração do foguete é
a(t)=b,t^3
com . O foguete parte do repouso ( ) e de . A matéria aqui é cinemática com cálculo: a gente vai usar integrais pra achar primeiro a velocidade e depois a posição.

Passo 2

Queremos a velocidade dvdt=a(t)=b,t^3. Lembra que aceleração é a derivada da velocidade:
v(t)-v(0)=integral0^tb,t'^3,dt' Longrightarrow v(t)=integral0^tb,t'^3,dt'+0
Pra “desfazer” a derivada, integramos ambos os lados de v(t)=bintegral0^tt'^3,dt' = b;t^44|0^t = b,t^44 até :
Fazendo a integral:

Passo 3

Agora a posição dxdt=v(t)=b,t^44. Velocidade é derivada da posição:
x(t)-x(0) =integral0^tb,t'^44,dt' Longrightarrow x(t)=10+b4integral0^tt'^4,dt'
Integramos de x(t)=10+b4;t^55|0^t =10+b,t^520 até :
Calculando a integral:

Passo 4

Agora é só botar v(5) =3,0,(5)^44 =3,0cdot6254 =18754 =468,75 m/s, e x(5) =10+3,0,(5)^520 =10+3,0cdot312520 =10+937520 =10+468,75 =478,75 m :

Resposta

Velocidade em v(5)=468,75 m/s :
x(5)=478,75 m
Posição em :

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