3 Momento angular - 34 pontos
Mostre que o momento angular de um planeta se conserva e deduza a segunda lei de Kepler
(a) (1) Escreva a definição de momento angular
(b) (1) Que operação matemática usamos para mostrar que algo é constante?
© (10) Mostre que L= cte
(d) (10) Por que L= cte implica que a órbita do planeta se mantem sobre um plano
(e) (5) Se L= cte o que isto implica para a relação entre v e r ? Escreva a expressão.
(f) (2) E para a relação entre omega e r ?..
(g) (4) E o que isto tem a ver com a segunda lei de Kepler? A segunda lei de Kepler diz: “o vetor posição de um planeta varre áreas iguais em tempos iguais, não importando a distância que ele esteja do Sol”

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre momento angular e a segunda lei de Kepler. Basicamente, o problema quer que a gente mostre que o momento angular de um planeta se mantém constante e, a partir disso, deduza a segunda lei de Kepler. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é momento angular, como mostrar que ele é constante e como isso se relaciona com a trajetória do planeta ao redor do Sol.

Passo 2

(a) Escreva a definição de momento angular
O momento angular, geralmente representado por L, é uma grandeza física que descreve a quantidade de movimento rotacional de um objeto em relação a um ponto específico. Para uma partícula, ele é definido pela fórmula:
L = r times p
Aqui, r é o vetor posição da partícula em relação ao ponto de referência (no nosso caso, o Sol), p é o impulso linear da partícula ( p = mv), e o símbolo times representa o produto vetorial.

Passo 3

(b) Que operação matemática usamos para mostrar que algo é constante?
Para mostrar que uma quantidade é constante no tempo, usamos a derivada temporal dessa quantidade. Se a derivada em relação ao tempo for zero, isso significa que a quantidade não está mudando, ou seja, é constante. Então, matematicamente, se queremos provar que $ \vec{L} $ é constante, calculamos $ \frac{d\vec{L}}{dt} $ e mostramos que é igual a zero.

Passo 4

© Mostre que $ \vec{L} $ é constante
Vamos calcular a derivada temporal do momento angular:
L
Sabemos que $ \frac{d\vec{r}}{dt} = \vec{v} $ e $ \frac{d\vec{p}}{dt} = \vec{F} $ (segunda lei de Newton). Então:
dLdt = ddt (r times p) = drdt times p + r times dpdt
Como $ \vec{p} = m\vec{v} $, temos $ \vec{v} \times \vec{p} = \vec{v} \times m\vec{v} = m(\vec{v} \times \vec{v}) = \vec{0} $ (pois o produto vetorial de um vetor consigo mesmo é zero).
Agora, considere a força gravitacional exercida pelo Sol no planeta, que é central, ou seja, está na direção de $ \vec{r} $:
drdt = v
Como $ \vec{F} $ é paralelo a $ \vec{r} $, o produto vetorial $ \vec{r} \times \vec{F} = \vec{0} $.
Portanto:
dpdt = F
Isso mostra que $ \vec{L} $ é constante ao longo do tempo.

Passo 5

(d) Por que $ \vec{L} = $ constante implica que a órbita do planeta se mantém sobre um plano
Quando o momento angular $ \vec{L} $ é constante, isso significa que sua direção e magnitude não estão mudando. A direção de $ \vec{L} $ é perpendicular ao plano formado pelos vetores $ \vec{r} $ e $ \vec{v} $. Se $ \vec{L} $ não muda, então o plano definido por $ \vec{r} $ e $ \vec{v} $ também não muda. Assim, a trajetória do planeta está sempre confinada a esse plano fixo, mantendo a órbita plana.

Passo 6

(e) Se $ \vec{L} = $ constante, o que isso implica para a relação entre $ v $ e $ r $? Escreva a expressão.
Sabemos que o momento angular $ \vec{L} = m \vec{r} \times \vec{v} $. Como $ \vec{L} $ é constante em magnitude, temos:
L =
Onde $ \theta $ é o ângulo entre $ \vec{r} $ e $ \vec{v} $. Em uma órbita plana, esse ângulo é 90°, então $ \sin(\theta) = 1 $. Então:
v
Como $ L $ é constante, a relação entre $ v $ e $ r $ é inversamente proporcional:
r
Ou seja:
L = m r times v
Onde $ C $ é uma constante.

Passo 7

(f) E para a relação entre $ \omega $ e $ r $?
A velocidade angular $ \omega $ está relacionada à velocidade linear $ v $ pela expressão $ v = \omega r $. Usando a relação que encontramos anteriormente $ v = \frac{C}{r} $, substituímos:
omega
Então, a velocidade angular $ \omega $ é inversamente proporcional ao quadrado da distância $ r $:
r

Passo 8

(g) E o que isso tem a ver com a segunda lei de Kepler? A segunda lei de Kepler diz: "o vetor posição de um planeta varre áreas iguais em tempos iguais, não importando a distância que ele esteja do Sol"
A segunda lei de Kepler está diretamente relacionada à conservação do momento angular. Se $ \vec{L} $ é constante, então a taxa na qual a área é varrida pelo vetor posição $ \vec{r} $ é constante. Matemática e fisicamente, a área varrida por unidade de tempo é dada por:
L
Como $ L $ é constante, $ \frac{dA}{dt} $ também é constante. Portanto, o planeta varre áreas iguais em tempos iguais, independentemente de estar mais próximo ou mais distante do Sol, exatamente conforme a segunda lei de Kepler.

Resposta

Mostramos que o momento angular $ \vec{L} $ de um planeta se mantém constante ao longo do tempo, o que implica que sua órbita permanece em um plano fixo. Além disso, isso leva à relação inversa entre a velocidade linear $ v $ e a distância $ r $, bem como à proporcionalidade inversa do quadrado da velocidade angular $ \omega $ em relação a $ r $. Por fim, a conservação do momento angular explica a segunda lei de Kepler, que afirma que o vetor posição do planeta varre áreas iguais em tempos iguais.

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