A aceleração de um corpo com movimento retilíneo é dada por
, onde
é em
e
em segundos. (a) Determine as expressões da velocidade e do deslocamento como funções do tempo, sabendo-se que, quando
e
. (b) Represente graficamente
e
em função do tempo. © Quando é que o movimento é acelerado? E retardado?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que um corpo faz movimento retilíneo com aceleração
e que, no instante
O conteúdo é cinemática básica: a gente vai integrar a aceleração para achar a velocidade e integrar de novo para achar o deslocamento. Depois ajeitamos as constantes usando as condições dadas. Também vamos falar rapidinho de quando o movimento é “acelerado” ou “retardado” (isto é, quando aceleração e velocidade têm mesmo sinal ou sinais opostos).
Passo 2
Queremos
.
Como
Como
integramos:
Passo 3
Ajustar
usando
.
Substituindo :
Substituindo
logo
Então a velocidade é
Passo 4
Agora vamos ao deslocamento
.
Integramos
Integramos
para obter
$$x(t)=\int\Bigl(4t - \frac{t^3}{3} -1\Bigr)dt
=2t^2 - \frac{t^4}{12} - t + C_2.$$
Passo 5
Ajustar
usando
.
Substituindo :
Substituindo
logo
.
Portanto
Portanto
Passo 6
(b) Gráficos qualitativos:
-
é uma parábola “de cabeça para baixo”, cruzando zero em . -
é um polinômio de grau 3, que sobe, depois desce… -
é um grau 4, vai crescendo, depois desacelera, etc.
(Num rascunho você desenha cada curva contra o eixo.)
Passo 7
© Lembra que movimento é acelerado quando
e
têm o mesmo sinal (porque aí
cresce), e retardado quando são de sinais opostos.
– para
e
para
.
– muda de sinal em dois instantes positivos (aprox.\
e
).
Logo, no intervalo de interesse ( ):
–
–
Logo, no intervalo de interesse (
- 0≤
<0{,}25: , ⇒ retardado - 0{,}25<
<2: , ⇒ acelerado - 2<
❤️{,}2: , ⇒ retardado -
>3{,}2: , ⇒ acelerado
Resposta
a)
b)
c) O movimento é acelerado quando