A aceleração de um corpo com movimento retilíneo é dada por a=4-t^2, onde a é em m / s^2 e t em segundos. (a) Determine as expressões da velocidade e do deslocamento como funções do tempo, sabendo-se que, quando t=3 s, v=2 m / s e x=9 m. (b) Represente graficamente a, v e x em função do tempo. © Quando é que o movimento é acelerado? E retardado?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que um corpo faz movimento retilíneo com aceleração
a(t)=4 - t^2 [rm m/s^2],
e que, no instante t=3,s, vale v=2,m/s e x=9,m.
O conteúdo é cinemática básica: a gente vai integrar a aceleração para achar a velocidade e integrar de novo para achar o deslocamento. Depois ajeitamos as constantes usando as condições dadas. Também vamos falar rapidinho de quando o movimento é “acelerado” ou “retardado” (isto é, quando aceleração e velocidade têm mesmo sinal ou sinais opostos).

Passo 2

Queremos v(t)=integral a(t),dt.
Como
a(t)=4 - t^2,
integramos:
v(t)=integral (4 - t^2),dt = 4t - t^33 + C1

Passo 3

Ajustar C1 usando v(3)=2.
Substituindo t=3:
2 = 4cdot3 - 3^33 + C1 = 12 - 9 + C1 = 3 + C1,
logo C1 = -1.
Então a velocidade é
boxedv(t)=4t - t^33 - 1

Passo 4

Agora vamos ao deslocamento x(t)=integral v(t),dt.
Integramos
v(t)=4t - t^33 -1
para obter
$$x(t)=\int\Bigl(4t - \frac{t^3}{3} -1\Bigr)dt
=2t^2 - \frac{t^4}{12} - t + C_2.$$

Passo 5

Ajustar C2 usando x(3)=9.
Substituindo t=3:
9 = 2cdot3^2 - 3^412 - 3 + C2 =18 - 8112 -3 + C2 =18 - 6,75 -3 + C2 =8,25 + C2,
logo C2=0,75=tfrac34.
Portanto
boxedx(t)=2t^2 - t^412 - t + 34

Passo 6

(b) Gráficos qualitativos:
  • a(t)=4-t^2 é uma parábola “de cabeça para baixo”, cruzando zero em t=2.
  • v(t)=4t -tfract^33-1 é um polinômio de grau 3, que sobe, depois desce…
  • x(t)=2t^2-tfract^412-t+tfrac34 é um grau 4, vai crescendo, depois desacelera, etc.
    (Num rascunho você desenha cada curva contra o eixo t.)

Passo 7

© Lembra que movimento é acelerado quando a e v têm o mesmo sinal (porque aí |v| cresce), e retardado quando são de sinais opostos.
a(t)>0 para t<2 e a(t)<0 para t>2.
v(t) muda de sinal em dois instantes positivos (aprox.\ tapprox0,25 e tapprox3,2).
Logo, no intervalo de interesse ( t>=0):
  • 0≤ t<0{,}25: v<0, a>0 ⇒ retardado
  • 0{,}25< t<2: v>0, a>0 ⇒ acelerado
  • 2< t❤️{,}2: v>0, a<0 ⇒ retardado
  • t>3{,}2: v<0, a<0 ⇒ acelerado

Resposta

a)
v(t)=4t - t^33 -1, x(t)=2t^2 - t^412 - t + 34
b) a(t) é parábola invertida cruzando zero em t=2; v(t) é cúbica; x(t) é polinômio grau 4 (desenho qualitativo).
c) O movimento é acelerado quando acdot v>0 (ou seja, tin(0,25,2)cup(3,2,infty)) e retardado quando acdot v<0 (ou seja, tin(0,0,25)cup(2,3,2)).

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