Calcular a velocidade do centro de massa da bola quando ela principia rolar pelo solo, sem escorregar.
Passo 1
O enunciado pede pra gente achar a velocidade do centro de massa de uma bola homogênea (esfera sólida) no instante em que ela passa a rolar sem escorregar sobre um piso áspero.
Matéria: dinâmica de translação + rotação com atrito.
O que vamos usar:
Matéria: dinâmica de translação + rotação com atrito.
O que vamos usar:
- Segunda lei de Newton (F = m·a) para o movimento de translação.
- Segunda lei de Newton para rotação (τ = I·α), onde
é o momento de inércia da esfera. - Condição de rolamento sem deslizar:
.
Passo 2
Definindo variáveis e forças:
- Massa da bola:
. - Raio da bola:
. - Velocidade inicial (deslizante) da bola:
. - Atrito cinético constante:
(atua para trás, reduzindo e gerando torque). - Momento de inércia da esfera sólida em relação ao centro:
Translação:
ou seja,
Rotação:
O torque do atrito em relação ao centro é , logo
O torque do atrito em relação ao centro é
Assim
Passo 3
Agora impomos a condição de rolamento sem escorregar:
Substituindo as expressões:
Passo 4
Isolando o tempo
em que a bola começa a rolar:
Passo 5
Finalmente calculamos
nesse instante:
Resposta
ou seja, quando a bola começa a rolar sem deslizar, sua velocidade do centro de massa vale
da inicial.