Calcular a velocidade do centro de massa da bola quando ela principia rolar pelo solo, sem escorregar.

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar a velocidade do centro de massa de uma bola homogênea (esfera sólida) no instante em que ela passa a rolar sem escorregar sobre um piso áspero.
Matéria: dinâmica de translação + rotação com atrito.
O que vamos usar:
  1. Segunda lei de Newton (F = m·a) para o movimento de translação.
  2. Segunda lei de Newton para rotação (τ = I·α), onde é o momento de inércia da esfera.
  3. Condição de rolamento sem deslizar: .

Passo 2

Definindo variáveis e forças:
  • Massa da bola: I = tfrac25,m,R^2.
  • Raio da bola: m,a = -f ;Longrightarrow; a = -fm = -muk,g,.
  • Velocidade inicial (deslizante) da bola: boxedv(t) = v0 - muk,g,t.
  • Atrito cinético constante: tau = I,alpha ;Longrightarrow; alpha = f,RI = muk,m,g,Rtfrac25mR^2 = 52,muk,gR (atua para trás, reduzindo boxedomega(t) = alpha,t = 52,muk,gR;t e gerando torque).
  • Momento de inércia da esfera sólida em relação ao centro:
Translação:
ou seja,
Rotação:
O torque do atrito em relação ao centro é , logo
Assim

Passo 3

Agora impomos a condição de rolamento sem escorregar:
;v(t) = omega(t),R
Substituindo as expressões:
v0 - muk,g,t ;=;l(tfrac52,tfracmuk,gR,tr),R ;Longrightarrow; v0 - muk,g,t = 52,muk,g,t

Passo 4

Isolando o tempo v0 = muk,g,t + 52,muk,g,t ;=;muk,g,t;l(1 + tfrac52r) ;=;72,muk,g,t ;Longrightarrow; t = 2,v07,muk,g em que a bola começa a rolar:

Passo 5

Finalmente calculamos v = v0 - muk,g,t = v0 - muk,g;l(2,v07,muk,gr) = v0 - 27,v0 = 57,v0 nesse instante:

Resposta

boxedvrm CM = 57,v0
ou seja, quando a bola começa a rolar sem deslizar, sua velocidade do centro de massa vale da inicial.

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