A aceleração de um ponto material é definida no S. I. pela relação
. O ponto parte de
com velocidade nula. Determinar a) o instante no qual a velocidade se anula novamente; b) a posição e a velocidade quando
e c) a distância total percorrida pelo ponto até
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
-
Dados fornecidos:
- A aceleração do ponto material é
(unidades ). - Condição inicial: no instante
o ponto parte de posição com velocidade nula .
- A aceleração do ponto material é
-
O que o enunciado pede:
a) Determinar o instante (além de) no qual a velocidade se anula novamente.
b) Determinar a posição e a velocidade quando.
c) Determinar a distância total percorrida pelo ponto até.
Passo 2
Vamos relembrar as relações básicas de cinemática unidimensional que usaremos (já que trabalhamos com aceleração dependente do tempo).
- Aceleração é a taxa de variação da velocidade no tempo:
Aqui
é a velocidade (em
) e
o tempo (em
).
- Velocidade é a taxa de variação da posição:
onde
é a posição (em
).
Para obter
a partir de
integramos em relação a
. Regra de integração que vamos usar (lembrinha): para
,
. Sempre aparecerá uma constante de integração que se determina com a condição inicial.
Passo 3
Integro
para obter a velocidade
.
Calculo a integral termo a termo:
Logo
onde
é a constante de integração. Usamos a condição inicial
:
Portanto a velocidade é
Passo 4
Agora respondo a) — instantes em que a velocidade se anula.
Queremos
, isto é
Fatorando:
As soluções são
e
. Como consideramos tempo físico não-negativo, as raízes relevantes são
e
. A questão pediu o instante em que a velocidade se anula novamente (além de
), então a resposta é
Um comentário físico curto: para
a velocidade é positiva (o ponto se move no sentido positivo) e para
a velocidade torna-se negativa (o ponto inverte o sentido do movimento).
Passo 5
Agora vou obter a posição
integrando
.
Calculo termo a termo:
Assim
Usando a condição inicial
:
Portanto
Passo 6
Calculo a velocidade e posição no instante
(item b).
Primeiro a velocidade:
Calcule passo a passo:
Logo
Agora a posição:
Calcule passo a passo:
Logo
Então, em
tem-se
e
.
Passo 7
Agora calculo a distância total percorrida até
(item c).
Distância total percorrida é a soma dos módulos dos deslocamentos em cada trecho em que a velocidade mantém sinal. No nosso caso verificamos em
Passo 8
- deslocamento de
a (v positiva), que é ; - deslocamento entre
e (v negativa), cujo módulo é (pois ).
Calculo
usando a fórmula encontrada:
Passo a passo:
Logo
Deslocamentos:
Somando,
Resposta
(a)
\newline
(b) \newline
\newline
(c) distância total
(b)
(c) distância total