A aceleração de um ponto material é definida no S. I. pela relação a=32-6 t^{2}. O ponto parte de x= 50 m com velocidade nula. Determinar a) o instante no qual a velocidade se anula novamente; b) a posição e a velocidade quando t=6 s e c) a distância total percorrida pelo ponto até t=6 s.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • Dados fornecidos:
    • A aceleração do ponto material é \,a(t)=32-6t^{2}\, (unidades \mathrm{m/s^{2}}).
    • Condição inicial: no instante \,t=0\, o ponto parte de posição \,x(0)=50\\ \mathrm{m}\, com velocidade nula \,v(0)=0\\ \mathrm{m/s}.
  • O que o enunciado pede:
    a) Determinar o instante (além de \,t=0\,) no qual a velocidade se anula novamente.
    b) Determinar a posição e a velocidade quando \,t=6\\ \mathrm{s}.
    c) Determinar a distância total percorrida pelo ponto até \,t=6\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Vamos relembrar as relações básicas de cinemática unidimensional que usaremos (já que trabalhamos com aceleração dependente do tempo).
  • Aceleração é a taxa de variação da velocidade no tempo:
a(t)=\frac{dv}{dt}.
Aqui \,v(t)\, é a velocidade (em \mathrm{m/s}) e \,t\, o tempo (em \mathrm{s}).
  • Velocidade é a taxa de variação da posição:
v(t)=\frac{dx}{dt},
onde \,x(t)\, é a posição (em \mathrm{m}).
Para obter \,v(t)\, a partir de \,a(t)\, integramos em relação a \,t. Regra de integração que vamos usar (lembrinha): para \,t^{n}, \int t^{n}\,dt = \dfrac{t^{n+1}}{n+1}+C. Sempre aparecerá uma constante de integração que se determina com a condição inicial.

Passo 3

Integro \,a(t)=32-6t^{2}\, para obter a velocidade \,v(t).
v(t)=\int a(t)\,dt=\int(32-6t^{2})\,dt.
Calculo a integral termo a termo:
\int 32\,dt = 32t, \qquad \int -6t^{2}\,dt = -6\cdot\frac{t^{3}}{3}=-2t^{3}.
Logo
v(t)=32t-2t^{3}+C_{v},
onde C_{v} é a constante de integração. Usamos a condição inicial \,v(0)=0\,:
v(0)=32\cdot0-2\cdot0^{3}+C_{v}=C_{v}=0.
Portanto a velocidade é
v(t)=32t-2t^{3}.

Passo 4

Agora respondo a) — instantes em que a velocidade se anula.
Queremos \,v(t)=0, isto é
32t-2t^{3}=0.
Fatorando:
2t(16-t^{2})=0.
As soluções são \,t=0\, e \,t^{2}=16\Rightarrow t=\pm 4. Como consideramos tempo físico não-negativo, as raízes relevantes são \,t=0\, e \,t=4\\ \mathrm{s}. A questão pediu o instante em que a velocidade se anula novamente (além de 0), então a resposta é
t=4\\ \mathrm{s}.
Um comentário físico curto: para 0<t<4 a velocidade é positiva (o ponto se move no sentido positivo) e para t>4 a velocidade torna-se negativa (o ponto inverte o sentido do movimento).

Passo 5

Agora vou obter a posição \,x(t)\, integrando \,v(t).
x(t)=\int v(t)\,dt=\int(32t-2t^{3})\,dt.
Calculo termo a termo:
\int 32t\,dt = 32\cdot\frac{t^{2}}{2}=16t^{2}, \qquad \int -2t^{3}\,dt = -2\cdot\frac{t^{4}}{4}=-\tfrac{1}{2}t^{4}.
Assim
x(t)=16t^{2}-\tfrac{1}{2}t^{4}+C_{x}.
Usando a condição inicial \,x(0)=50\,:
x(0)=C_{x}=50.
Portanto
x(t)=16t^{2}-\tfrac{1}{2}t^{4}+50.

Passo 6

Calculo a velocidade e posição no instante \,t=6\\ \mathrm{s} (item b).
Primeiro a velocidade:
v(6)=32\cdot 6 -2\cdot 6^{3}.
Calcule passo a passo:
32\cdot 6=192,\qquad 6^{3}=216,\qquad 2\cdot216=432.
Logo
v(6)=192-432=-240\\ \mathrm{m/s}.
Agora a posição:
x(6)=16\cdot 6^{2}-\tfrac{1}{2}\cdot 6^{4}+50.
Calcule passo a passo:
6^{2}=36\Rightarrow 16\cdot36=576, \qquad 6^{4}=(6^{2})^{2}=36^{2}=1296, \qquad \tfrac{1}{2}\cdot1296=648.
Logo
x(6)=576-648+50= -22\\ \mathrm{m}.
Então, em \,t=6\\ \mathrm{s} tem-se \,x(6)=-22\\ \mathrm{m} e \,v(6)=-240\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Agora calculo a distância total percorrida até \,t=6\\ \mathrm{s} (item c).
Distância total percorrida é a soma dos módulos dos deslocamentos em cada trecho em que a velocidade mantém sinal. No nosso caso verificamos em

Passo 8

  • deslocamento de \,t=0 a \,t=4 (v positiva), que é x(4)-x(0);
  • deslocamento entre \,t=4 e \,t=6 (v negativa), cujo módulo é x(4)-x(6) (pois x(6)<x(4)).
Calculo x(4) usando a fórmula encontrada:
x(4)=16\cdot 4^{2}-\tfrac{1}{2}\cdot 4^{4}+50.
Passo a passo:
4^{2}=16\Rightarrow 16\cdot16=256, \qquad 4^{4}=256,\qquad \tfrac{1}{2}\cdot256=128.
Logo
x(4)=256-128+50=178\\ \mathrm{m}.
Deslocamentos:
\text{trecho }0\to4:\quad x(4)-x(0)=178-50=128\\ \mathrm{m}.
\text{trecho }4\to6:\quad |x(6)-x(4)|=| -22-178|=200\\ \mathrm{m}.
Somando,
\text{distância total} = 128+200=328\\ \mathrm{m}.â

Resposta

(a) t=4\\ \mathrm{s}\newline
(b) x(6)=-22\\ \mathrm{m}\newline
v(6)=-240\\ \mathrm{m/s}\newline
(c) distância total =328\\ \mathrm{m}

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