Sejam f, g:[a, b] longrightarrow R contínuas tais que f(a) e f(b)>g(b). Verifique que existe x0 in[a, b] tal que f(x0)=g(x0).

Passo 1

Neste exercício, temos as funções contínuas f, g: [a,b]to R com f(a) e f(b)>g(b). O conteúdo principal é o Teorema do Valor Intermediário, e vamos precisar aplicá-lo.

Passo 2

Definimos a função h(x)=f(x)-g(x). Como f e g são contínuas em [a,b], a diferença h também é contínua em [a,b].

Passo 3

Calculamos os valores de h nas extremidades:
  • h(a)=f(a)-g(a)<0, porque f(a).
  • h(b)=f(b)-g(b)>0, porque f(b)>g(b).

Passo 4

Pelo Teorema do Valor Intermediário, como h(a)<0 e h(b)>0, existe algum x0in(a,b) tal que
h(x0)=0

Passo 5

Da igualdade h(x0)=f(x0)-g(x0)=0 concluímos que f(x0)=g(x0).

Resposta

Existe x0in[a,b] tal que f(x0)=g(x0).

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