A aceleração de um ônibus é dada por ax(t)=beta t, onde beta=1,2 m / s^3.
a) Se a velocidade do ônibus no instante para t=1 s é igual a 5 m / s, qual é a sua velocidade para t=2 s ?
b) Se a posição do ônibus para t=1 s é igual a 6 m , qual sua posição para t=2 s ?
c) Faça os gráficos a versus t, v versus t e x versus t para esse movimento.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede. Temos a aceleração de um ônibus que varia com o tempo, dada por $ a_{x}(t) = \beta t $, onde $ \beta = 1,2 , \mathrm{m/s}^{3} $. A matéria envolvida aqui é o Cálculo de Movimento Uniformemente Variado, onde vamos usar integrações para encontrar a velocidade e a posição do ônibus em momentos específicos. Para resolver as partes a) e b), precisaremos integrar a aceleração para achar a velocidade e depois integrar a velocidade para achar a posição, aplicando as condições iniciais fornecidas.

Passo 2

Parte a): Encontrar a velocidade do ônibus para $ t = 2 , \mathrm{s} $
Primeiro, precisamos encontrar a expressão da velocidade $ v(t) $. Sabemos que aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
t = 2 , s
Para achar $ v(t) $, vamos integrar $ a_{x}(t) $:
v(t)
Substituindo $ a_{x}(t) = \beta t $:
ax(t) = dvdt
Agora, usamos a condição inicial fornecida: para $ t = 1 , \mathrm{s} $, $ v(1) = 5 , \mathrm{m/s} $. Substituímos esses valores na equação para encontrar $ C $:
v(t)
Portanto, a expressão da velocidade é:
ax(t)
Agora, para encontrar $ v(2) $:
v(t) = integral ax(t) , dt + C

Passo 3

Parte b): Encontrar a posição do ônibus para $ t = 2 , \mathrm{s} $
Agora, queremos achar a posição $ x(t) $. Sabemos que velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
t = 2 , s
Para encontrar $ x(t) $, vamos integrar $ v(t) $:
x(t)
Substituindo $ v(t) = 0,6 t^{2} + 4,4 $:
v(t) = dxdt
Agora, usamos a condição inicial fornecida: para $ t = 1 , \mathrm{s} $, $ x(1) = 6 , \mathrm{m} $. Substituímos esses valores na equação para encontrar $ D $:
x(t)
Portanto, a expressão da posição é:
v(t)
Agora, para encontrar $ x(2) $:
x(t) = integral v(t) , dt + D

Passo 4

Parte c): Fazer os gráficos $ a $ versus $ t $, $ v $ versus $ t $ e $ x $ versus $ t $ para esse movimento
Para plotar os gráficos, usamos as expressões que encontramos para cada função:
  1. Gráfico de $ a $ versus $ t $:
    A aceleração é dada por $ a_{x}(t) = 1,2 , t $. Esse é um gráfico linear que passa pela origem, aumentando proporcionalmente ao tempo.
  2. Gráfico de $ v $ versus $ t $:
    A velocidade é $ v(t) = 0,6 t^{2} + 4,4 $. Esse é um gráfico parabólico que abre para cima, indicando que a velocidade aumenta de forma quadrática com o tempo.
  3. Gráfico de $ x $ versus $ t $:
    A posição é $ x(t) = 0,2 t^{3} + 4,4 t + 1,4 $. Esse gráfico é cúbico, mostrando que a posição aumenta de forma mais acelerada ao longo do tempo.
Para desenhar esses gráficos, você pode usar ferramentas como o Excel, GeoGebra ou qualquer software de plotagem de gráficos, inserindo as equações acima e observando como cada variável se comporta em função do tempo.

Resposta

a) A velocidade do ônibus para $ t = 2 , \mathrm{s} $ é $ 6,8 , \mathrm{m/s} $.
b) A posição do ônibus para $ t = 2 , \mathrm{s} $ é $ 11,8 , \mathrm{m} $.
c) Os gráficos de $ a $ versus $ t $, $ v $ versus $ t $ e $ x $ versus $ t $ foram descritos no Passo 4, indicando as formas lineares, parabólicas e cúbicas, respectivamente.

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