A aceleração de um ônibus é dada por
, onde
.
a) Se a velocidade do ônibus no instante para
é igual a
, qual é a sua velocidade para
?
b) Se a posição do ônibus para
é igual a 6 m , qual sua posição para
?
c) Faça os gráficos
versus
versus
versus
para esse movimento.
a) Se a velocidade do ônibus no instante para
b) Se a posição do ônibus para
c) Faça os gráficos
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede. Temos a aceleração de um ônibus que varia com o tempo, dada por $ a_{x}(t) = \beta t $, onde $ \beta = 1,2 , \mathrm{m/s}^{3} $. A matéria envolvida aqui é o Cálculo de Movimento Uniformemente Variado, onde vamos usar integrações para encontrar a velocidade e a posição do ônibus em momentos específicos. Para resolver as partes a) e b), precisaremos integrar a aceleração para achar a velocidade e depois integrar a velocidade para achar a posição, aplicando as condições iniciais fornecidas.
Passo 2
Parte a): Encontrar a velocidade do ônibus para $ t = 2 , \mathrm{s} $
Primeiro, precisamos encontrar a expressão da velocidade $ v(t) $. Sabemos que aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Para achar $ v(t) $, vamos integrar $ a_{x}(t) $:
Substituindo $ a_{x}(t) = \beta t $:
Agora, usamos a condição inicial fornecida: para $ t = 1 , \mathrm{s} $, $ v(1) = 5 , \mathrm{m/s} $. Substituímos esses valores na equação para encontrar $ C $:
Portanto, a expressão da velocidade é:
Agora, para encontrar $ v(2) $:
Passo 3
Parte b): Encontrar a posição do ônibus para $ t = 2 , \mathrm{s} $
Agora, queremos achar a posição $ x(t) $. Sabemos que velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Para encontrar $ x(t) $, vamos integrar $ v(t) $:
Substituindo $ v(t) = 0,6 t^{2} + 4,4 $:
Agora, usamos a condição inicial fornecida: para $ t = 1 , \mathrm{s} $, $ x(1) = 6 , \mathrm{m} $. Substituímos esses valores na equação para encontrar $ D $:
Portanto, a expressão da posição é:
Agora, para encontrar $ x(2) $:
Passo 4
Parte c): Fazer os gráficos $ a $ versus $ t $, $ v $ versus $ t $ e $ x $ versus $ t $ para esse movimento
Para plotar os gráficos, usamos as expressões que encontramos para cada função:
-
Gráfico de $ a $ versus $ t $:A aceleração é dada por $ a_{x}(t) = 1,2 , t $. Esse é um gráfico linear que passa pela origem, aumentando proporcionalmente ao tempo.
-
Gráfico de $ v $ versus $ t $:A velocidade é $ v(t) = 0,6 t^{2} + 4,4 $. Esse é um gráfico parabólico que abre para cima, indicando que a velocidade aumenta de forma quadrática com o tempo.
-
Gráfico de $ x $ versus $ t $:A posição é $ x(t) = 0,2 t^{3} + 4,4 t + 1,4 $. Esse gráfico é cúbico, mostrando que a posição aumenta de forma mais acelerada ao longo do tempo.
Para desenhar esses gráficos, você pode usar ferramentas como o Excel, GeoGebra ou qualquer software de plotagem de gráficos, inserindo as equações acima e observando como cada variável se comporta em função do tempo.
Resposta
a) A velocidade do ônibus para $ t = 2 , \mathrm{s} $ é $ 6,8 , \mathrm{m/s} $.
b) A posição do ônibus para $ t = 2 , \mathrm{s} $ é $ 11,8 , \mathrm{m} $.
c) Os gráficos de $ a $ versus $ t $, $ v $ versus $ t $ e $ x $ versus $ t $ foram descritos no Passo 4, indicando as formas lineares, parabólicas e cúbicas, respectivamente.