A aceleração de uma partícula caindo sob a ação da gravidade, e de uma força resistiva (do ar, por exemplo) é dada por:
onde
é a aceleração da gravidade e
uma constante que depende da massa e da forma da partícula (e do meio em que ela se move). Suponha que a partícula comece a se mover em
.
Discuta, qualitativamente, como a velocidade varia com o tempo. Qual é o valor da velocidade quando a aceleração é zero? Este valor é denominado velocidade terminal ou velocidade limite.
Discuta, qualitativamente, como a velocidade varia com o tempo. Qual é o valor da velocidade quando a aceleração é zero? Este valor é denominado velocidade terminal ou velocidade limite.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa entender como a velocidade de uma partícula que está caindo varia com o tempo, levando em conta a gravidade e a resistência do ar. Para isso, vamos usar a equação da aceleração fornecida:
Aqui, $ g $ é a aceleração da gravidade e $ B $ é uma constante que depende da massa, forma da partícula e do meio em que ela está se movendo. Nosso objetivo é discutir qualitativamente essa variação da velocidade e encontrar a velocidade quando a aceleração é zero, que a gente chama de velocidade terminal.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que essa equação nos está dizendo. A aceleração ($ a
\frac{dv}{dt} $). Então, a equação:
indica que a aceleração da partícula depende da gravidade ($ g
B v $). Isso significa que à medida que a velocidade $ v $ aumenta, a resistência do ar ($ B v $) também aumenta, reduzindo a aceleração total.
Passo 3
Agora, vamos pensar em como a velocidade varia com o tempo. No início ($ t = 0 $), a partícula começa do repouso, então $ v = 0 $. Nesse momento, a aceleração é máxima e igual a $ g $, porque a resistência do ar ainda é zero:
À medida que o tempo passa, a velocidade vai aumentando. Como $ v $ aumenta, a resistência do ar ($ B v
a $) diminua. Isso continua até que a aceleração se torne zero, ou seja, quando:
Nesse ponto, a velocidade não aumenta mais e a partícula continua descendo com velocidade constante. Essa velocidade constante é o que chamamos de velocidade terminal.
Passo 4
Vamos calcular a velocidade quando a aceleração é zero. Da equação:
Podemos resolver para $ v $:
Então, a velocidade terminal $ v_t $ é:
Isso significa que, independentemente do tempo que a partícula leva para atingir essa velocidade, ela não vai exceder $ \frac{g}{B} $ enquanto a força resistiva for proporcional à velocidade.
Resposta
A velocidade da partícula aumenta com o tempo inicialmente, mas a resistência do ar faz com que a aceleração diminua até chegar a zero. Quando a aceleração é zero, a velocidade atinge o valor $ v_t = \frac{g}{B} $, que é a velocidade terminal ou velocidade limite da partícula.