A aceleração de uma partícula é dada por
a_{x}(t)=\left(6 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}^{3}}\right) t
Calcule a velocidade inicial v_{0 x} de modo que a partícula tenha a mesma coordenada x para t=2 \mathrm{se} t=0 \mathrm{~s}.
Problema 2.69 da lista, com alteração nos valores numéricos, simplificação da equação da aceleração e sem o item (b).
A aceleração da partícula NÃO é constante. Não podemos usar as equações usuais para o estudo do movimento de corpos com aceleração constante. Devemos encontrar a equação que dá a posição do corpo em função do tempo.
Partindo da definição de aceleração temos:
\begin{aligned} & a_{x}=\frac{d v_{x}}{d t} \Rightarrow \quad d v_{x}=a_{x} d t \quad \Rightarrow \quad \int_{v_{0 x}}^{v} d v_{x}=\int_{0}^{t}\left(6 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}^{3}}\right) t d t \\\ & v-v_{0 x}=\left(3 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}^{3}}\right) t^{2} \Rightarrow \quad v(t)=v_{0 x}+\left(3 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}^{3}}\right) t^{2} \end{aligned}
Da definição de velocidade temos:
v_{x}=\frac{d x}{d t} \quad \Rightarrow \quad d x=v_{x} d t \quad \Rightarrow \quad \int_{x_{0}}^{x} d x=\int_{0}^{t}\left[v_{0 x}+\left(3 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}^{3}}\right) t^{2}\right] d t
x-x_{0}=v_{0 x} t+\left(1 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}^{3}}\right) t^{3} \Rightarrow x(t)=x_{0}+v_{0 x} t+\left(1 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}^{3}}\right) t^{3}
Para t=0 \mathrm{~s} temos:
x(0 \mathrm{~s})=x_{0}
Para t=2 \mathrm{~s} temos:
x(2 \mathrm{~s})=x_{0}+v_{0 x}(2 \mathrm{~s})+\left(1 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}^{3}}\right)(2 \mathrm{~s})^{3}=x_{0}+v_{0 x}(2 \mathrm{~s})+8 \mathrm{~m}
Devemos ter x(0 \mathrm{~s})=x(2 \mathrm{~s}). Assim:
x_{0}=x_{0}+v_{0 x}(2 \mathrm{~s})+8 \mathrm{~m} \quad \Rightarrow \quad v_{0 x}=-4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
Observações:
Não há razão para considerarmos x_{0}=0. O resultado vale para qualquer valor de x_{0} As unidades nas equações para v(t) e x(t) são essenciais.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a velocidade inicial \,v_{0x}\, tal que a partícula tenha a mesma coordenada x em t=2\\ \mathrm{s} e em t=0\\ \mathrm{s}.
Informações dadas:
  • A aceleração é \;a_{x}(t)=\left(6\\ \dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^{3}}\right)t.
  • Queremos que x(2\\ \mathrm{s})=x(0\\ \mathrm{s}).
  • A posição inicial é chamada de \,x_0 (o enunciado não fixa x_0; a resposta deve valer para qualquer \,x_0).
O que precisamos achar:
  • O valor numérico de \,v_{0x} (com unidades) que satisfaz x(2\,\mathrm{s})=x(0\,\mathrm{s}).

Passo 2

Relacionamento entre aceleração e velocidade (definição de aceleracão):
a_{x}(t)=\frac{d v_{x}}{d t}.
Isto significa que para obter v_x(t) integramos a_x(t) no tempo. Vou integrar com limites de tempo de 0 até t e de velocidade de \,v_{0x} até \,v(t):
\int_{v_{0x}}^{v(t)} d v_{x}=\int_{0}^{t}\left(6\\ \dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^{3}}\right)t\,dt.
Calcule a integral do lado direito: \int_{0}^{t}6t\,dt = 6\cdot\frac{t^{2}}{2}=3t^{2}. Portanto, ao avaliar os limites,
v(t)-v_{0x}=3t^{2}.
Isolando v(t) obtemos a velocidade em função do tempo:
v(t)=v_{0x}+3t^{2}.
Comentário sobre unidades: 3t^{2} tem unidade \mathrm{m/s} porque 3 vem de integrar 6\\ \mathrm{m/s^{3}} vezes t.

Passo 3

Relacionamento entre velocidade e posição (definição de velocidade):
v_{x}(t)=\frac{d x}{d t}.
Para achar x(t) integramos v(t). Usando x(0)=x_{0} como condição inicial, integramos de 0 a t:
\int_{x_{0}}^{x(t)} dx=\int_{0}^{t}\bigl(v_{0x}+3t^{2}\bigr)\,dt.
Calcule a integral do lado direito termo a termo:
  • \int_{0}^{t}v_{0x}\,dt = v_{0x}\,t (pois v_{0x} é constante relativa à integração em t).
  • \int_{0}^{t}3t^{2}\,dt = 3\cdot\frac{t^{3}}{3}=t^{3}.
Portanto, avaliando os limites,
x(t)-x_{0}=v_{0x}\,t+t^{3},
ou seja
x(t)=x_{0}+v_{0x}\,t+t^{3}.
Novamente conferindo unidades: t^{3} aqui está realmente multiplicado pela unidade 1\\ \mathrm{m/s^{3}} (resultado de integrar 3\\ \mathrm{m/s} ao longo do tempo), gerando metros, conforme esperado.

Passo 4

Agora aplicamos a condição que o enunciado exige: a partícula tem a mesma coordenada em t=0 e em t=2\\ \mathrm{s}. Escrevemos:
x(0)=x_{0},
x(2)=x_{0}+v_{0x}\,(2)+ (2)^{3}.
Impondo x(2)=x(0) obtemos
x_{0}+v_{0x}\,(2)+8 = x_{0}.
Cancelando x_{0} dos dois lados:
2\,v_{0x}+8=0.
Resolvendo para \,v_{0x}:
v_{0x}=-\dfrac{8}{2}=-4\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Interpretação e checagem rápida (motivação física): o valor \,v_{0x}=-4\\ \mathrm{m/s} significa que a partícula começa movendo-se inicialmente no sentido negativo. A aceleração é positiva e crescente com o tempo ( a(t)=6t), de modo que depois de algum tempo a velocidade torna-se positiva; ao fim de 2\\ \mathrm{s} a partícula volta exatamente para a posição inicial x_0. Uma checagem numérica rápida: v(2)=v_{0x}+3(2)^{2}=-4+12=8\\ \mathrm{m/s}, o que é consistente com a aceleração positiva que reverte a velocidade.

Resposta

-4\\ \mathrm{m/s}

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