A aceleração de uma partícula é dada por
Calcule a velocidade inicial
de modo que a partícula tenha a mesma coordenada
para
.
Problema 2.69 da lista, com alteração nos valores numéricos, simplificação da equação da aceleração e sem o item (b).
A aceleração da partícula NÃO é constante. Não podemos usar as equações usuais para o estudo do movimento de corpos com aceleração constante. Devemos encontrar a equação que dá a posição do corpo em função do tempo.
Partindo da definição de aceleração temos:
Da definição de velocidade temos:
Para
temos:
Para
temos:
Devemos ter
. Assim:
Observações:
Não há razão para considerarmos
. O resultado vale para qualquer valor de
As unidades nas equações para
e
são essenciais.
Partindo da definição de aceleração temos:
Para
Para
Devemos ter
Observações:
Não há razão para considerarmos
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a velocidade inicial
tal que a partícula tenha a mesma coordenada
em
e em
.
Informações dadas:
- A aceleração é
. - Queremos que
. - A posição inicial é chamada de
(o enunciado não fixa ; a resposta deve valer para qualquer ).
O que precisamos achar:
- O valor numérico de
(com unidades) que satisfaz .
Passo 2
Relacionamento entre aceleração e velocidade (definição de aceleracão):
Isto significa que para obter
integramos
no tempo. Vou integrar com limites de tempo de
até
e de velocidade de
até
:
Calcule a integral do lado direito:
. Portanto, ao avaliar os limites,
Isolando
obtemos a velocidade em função do tempo:
Comentário sobre unidades:
tem unidade
porque
vem de integrar
vezes
.
Passo 3
Relacionamento entre velocidade e posição (definição de velocidade):
Para achar
integramos
. Usando
como condição inicial, integramos de
a
:
Calcule a integral do lado direito termo a termo:
-
(pois é constante relativa à integração em ). -
Portanto, avaliando os limites,
ou seja
Novamente conferindo unidades:
aqui está realmente multiplicado pela unidade
(resultado de integrar
ao longo do tempo), gerando metros, conforme esperado.
Passo 4
Agora aplicamos a condição que o enunciado exige: a partícula tem a mesma coordenada em
e em
. Escrevemos:
Impondo
obtemos
Cancelando
dos dois lados:
Resolvendo para
:
Passo 5
Interpretação e checagem rápida (motivação física): o valor
significa que a partícula começa movendo-se inicialmente no sentido negativo. A aceleração é positiva e crescente com o tempo (
), de modo que depois de algum tempo a velocidade torna-se positiva; ao fim de
a partícula volta exatamente para a posição inicial
. Uma checagem numérica rápida:
, o que é consistente com a aceleração positiva que reverte a velocidade.