A aceleração de uma partícula é dada por:
a(x)=-kx
onde k>0 é constante. Em um experimento, observou-se que a partícula tinha: velocidade v1=0 quando x=x1 e velocidade v2 quando x=x2, com 0. a) Determine o valor da constante k em função dos dados iniciais x1, x2, v2 e determine a equação da velocidade v(x) em função dos mesmos dados iniciais, além da sua dependência em x. b) Determine a velocidade da partícula quando x=2 x2. c) Se x2, podemos dizer v(x2) é maior, menor ou igual a v(x3) ? Explique o seu resultado. (Valor: 10 ptos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre aceleração de uma partícula que depende da posição $ x $. O conteúdo envolve cinemática e leis de movimento. Para resolver, vamos precisar entender como a aceleração está relacionada com a velocidade e a posição, além de usar integrais para encontrar a velocidade em função de $ x $.

Passo 2

Primeiro, a aceleração $ a(x) $ é dada por:
a(x)
Sabemos que aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, mas como estamos relacionando aceleração com posição, vamos usar a relação $ a = v \frac{dv}{dx} $. Assim, podemos reescrever a equação como:
a(x) = -kx

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis para integrar:
v , dv = -kx , dx
Integrando ambos os lados:
integral v , dv = -k integral 1x , dx
Resultado das integrais:
v^22 = -k ln|x| + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 4

Vamos resolver para $ v $ em função de $ x $:
v
Tomando a raiz quadrada:
x
(Considerando $ x > 0 $, já que $ 0 < x_1 < x_2 $)

Passo 5

Para encontrar a constante $ C $, usamos a condição inicial quando $ x = x_1 $, $ v = v_1 = 0 $:
C
Elevando ao quadrado:
x = x1

Passo 6

Substituindo $ C $ na expressão de $ v(x) $:
C

Passo 7

Agora, usamos a segunda condição quando $ x = x_2 $, $ v = v_2 $:
x = x2
Elevando ao quadrado:
v = v2
Resolvendo para $ k $:
v2 = raiz2k ln(x1x2)

Passo 8

Agora que temos $ k $, podemos escrever a equação da velocidade $ v(x) $:
k

Passo 9

Para a parte b, queremos a velocidade quando $ x = 2x_2 $. Usando a equação de $ v(x) $:
x = 2x2

Passo 10

Para a parte c, com $ x_3 > x_2 $, observamos que $ \ln\left(\frac{x_1}{x}\right) $ diminui à medida que $ x $ aumenta, já que $ \frac{x_1}{x} $ fica menor. Portanto, $ v(x) $ diminui com o aumento de $ x $. Logo:
x3 > x2

Resposta

a) A constante $ k $ é $ \displaystyle k = \frac{v_2^2}{2 \ln\left(\frac{x_1}{x_2}\right)} $ e a equação da velocidade em função de $ x $ é $ \displaystyle v(x) = \sqrt{\frac{v_2^2 \ln\left(\frac{x_1}{x}\right)}{\ln\left(\frac{x_1}{x_2}\right)}} $.
b) A velocidade quando $ x = 2x_2 $ é $ \displaystyle v(2x_2) = \sqrt{\frac{v_2^2 \ln\left(\frac{x_1}{2x_2}\right)}{\ln\left(\frac{x_1}{x_2}\right)}} $.
c) Se $ x_3 > x_2 $, então $ v(x_2) > v(x_3) $, ou seja, a velocidade diminui conforme $ x $ aumenta.

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