A aceleração de uma partícula é dada por:
onde
é constante. Em um experimento, observou-se que a partícula tinha: velocidade
quando
e velocidade
quando
,
. a) Determine o valor da constante
em função dos dados iniciais
e determine a equação da velocidade
em função dos mesmos dados iniciais, além da sua dependência em
. b) Determine a velocidade da partícula quando
. c) Se
, podemos dizer
é maior, menor ou igual a
? Explique o seu resultado. (Valor: 10 ptos)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre aceleração de uma partícula que depende da posição $ x $. O conteúdo envolve cinemática e leis de movimento. Para resolver, vamos precisar entender como a aceleração está relacionada com a velocidade e a posição, além de usar integrais para encontrar a velocidade em função de $ x $.
Passo 2
Primeiro, a aceleração $ a(x) $ é dada por:
Sabemos que aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, mas como estamos relacionando aceleração com posição, vamos usar a relação $ a = v \frac{dv}{dx} $. Assim, podemos reescrever a equação como:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis para integrar:
Integrando ambos os lados:
Resultado das integrais:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 4
Vamos resolver para $ v $ em função de $ x $:
Tomando a raiz quadrada:
(Considerando $ x > 0 $, já que $ 0 < x_1 < x_2 $)
Passo 5
Para encontrar a constante $ C $, usamos a condição inicial quando $ x = x_1 $, $ v = v_1 = 0 $:
Elevando ao quadrado:
Passo 6
Substituindo $ C $ na expressão de $ v(x) $:
Passo 7
Agora, usamos a segunda condição quando $ x = x_2 $, $ v = v_2 $:
Elevando ao quadrado:
Resolvendo para $ k $:
Passo 8
Agora que temos $ k $, podemos escrever a equação da velocidade $ v(x) $:
Passo 9
Para a parte b, queremos a velocidade quando $ x = 2x_2 $. Usando a equação de $ v(x) $:
Passo 10
Para a parte c, com $ x_3 > x_2 $, observamos que $ \ln\left(\frac{x_1}{x}\right) $ diminui à medida que $ x $ aumenta, já que $ \frac{x_1}{x} $ fica menor. Portanto, $ v(x) $ diminui com o aumento de $ x $. Logo:
Resposta
a) A constante $ k $ é $ \displaystyle k = \frac{v_2^2}{2 \ln\left(\frac{x_1}{x_2}\right)} $ e a equação da velocidade em função de $ x $ é $ \displaystyle v(x) = \sqrt{\frac{v_2^2 \ln\left(\frac{x_1}{x}\right)}{\ln\left(\frac{x_1}{x_2}\right)}} $.
b) A velocidade quando $ x = 2x_2 $ é $ \displaystyle v(2x_2) = \sqrt{\frac{v_2^2 \ln\left(\frac{x_1}{2x_2}\right)}{\ln\left(\frac{x_1}{x_2}\right)}} $.
c) Se $ x_3 > x_2 $, então $ v(x_2) > v(x_3) $, ou seja, a velocidade diminui conforme $ x $ aumenta.