Uma partícula de massa
move-se ao longo de uma trajetória retilínea sob a ação de uma força resistiva que depende da velocidade:
onde
e
são constantes. A partícula parte da posição
com velocidade inicial
. a) Determine a equação para
. b) Determine a posição máxima
atingida pela partícula. c) Explique em palavras e com equações (sem calcular) como seria para encontrar
e
. (Valor: 10 ptos)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de física sobre movimento de partículas com resistência ao movimento. A questão envolve cinemática e forças variáveis. Precisamos achar a equação da velocidade em função da posição $ v(x) $, a posição máxima que a partícula atinge $ x_{\max} $ e explicar como encontrar $ v(t) $ e $ x(t) $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a força que atua na partícula. A força resistiva é dada por:
Aqui, $ a $ e $ b $ são constantes positivas, e $ v $ é a velocidade. A força negativa indica que ela está na direção oposta ao movimento.
Passo 3
Segundo a segunda lei de Newton, a força também é igual à massa vezes a aceleração:
Mas como queremos relacionar $ v $ com $ x $, podemos usar a relação $ \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = v \frac{dv}{dx} $.
Passo 4
Substituindo na segunda lei de Newton:
Dividindo ambos os lados por $ m v $:
Passo 5
Vamos separar as variáveis para integrar:
Simplificando o denominador:
Então:
Passo 6
Integrando ambos os lados. A integral do lado esquerdo:
Fazemos uma substituição $ u = a v + b $, então $ du = a dv $ e $ dv = \frac{du}{a} $. A integral se torna:
Passo 7
Igualando à integral do lado direito:
Aplicando a condição inicial $ x = 0 $ quando $ v = v_0 $, encontramos a constante $ C $.
Passo 8
Resolvendo para $ v(x) $ pode ser complexo, mas podemos reorganizar a equação para expressar $ v $ em função de $ x $. O importante é chegar à relação desejada, mesmo que de forma implícita.
Passo 9
Para encontrar a posição máxima $ x_{\max} $, sabemos que ela ocorre quando a velocidade $ v = 0 $. Substituímos $ v = 0 $ na equação de $ v(x) $ e resolvemos para $ x $.
Passo 10
Agora, para encontrar $ v(t) $ e $ x(t) $, precisaríamos resolver as equações diferenciais em função do tempo. Isso envolve integrar as equações com relação ao tempo, usando técnicas semelhantes às que usamos para $ v(x) $ e $ x $.
Resposta
A posição máxima atingida pela partícula é: