Uma partícula de massa m move-se ao longo de uma trajetória retilínea sob a ação de uma força resistiva que depende da velocidade:
F(v)=-a v-b
onde a>0 e b>0 são constantes. A partícula parte da posição x=0 com velocidade inicial v0>0. a) Determine a equação para v(x). b) Determine a posição máxima xmax atingida pela partícula. c) Explique em palavras e com equações (sem calcular) como seria para encontrar v(t) e x(t). (Valor: 10 ptos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física sobre movimento de partículas com resistência ao movimento. A questão envolve cinemática e forças variáveis. Precisamos achar a equação da velocidade em função da posição $ v(x) $, a posição máxima que a partícula atinge $ x_{\max} $ e explicar como encontrar $ v(t) $ e $ x(t) $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a força que atua na partícula. A força resistiva é dada por:
F(v) = -a v - b
Aqui, $ a $ e $ b $ são constantes positivas, e $ v $ é a velocidade. A força negativa indica que ela está na direção oposta ao movimento.

Passo 3

Segundo a segunda lei de Newton, a força também é igual à massa vezes a aceleração:
F = m dvdt
Mas como queremos relacionar $ v $ com $ x $, podemos usar a relação $ \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = v \frac{dv}{dx} $.

Passo 4

Substituindo na segunda lei de Newton:
m v dvdx = -a v - b
Dividindo ambos os lados por $ m v $:
m v

Passo 5

Vamos separar as variáveis para integrar:
dv-am - bm v = dx
Simplificando o denominador:
-a v + bm v = dvdx
Então:
m va v + b dv = dx

Passo 6

Integrando ambos os lados. A integral do lado esquerdo:
integral m va v + b dv
Fazemos uma substituição $ u = a v + b $, então $ du = a dv $ e $ dv = \frac{du}{a} $. A integral se torna:
u = a v + b

Passo 7

Igualando à integral do lado direito:
ma^2 (a v + b) - m ba^2 ln|a v + b| = x + C
Aplicando a condição inicial $ x = 0 $ quando $ v = v_0 $, encontramos a constante $ C $.

Passo 8

Resolvendo para $ v(x) $ pode ser complexo, mas podemos reorganizar a equação para expressar $ v $ em função de $ x $. O importante é chegar à relação desejada, mesmo que de forma implícita.

Passo 9

Para encontrar a posição máxima $ x_{\max} $, sabemos que ela ocorre quando a velocidade $ v = 0 $. Substituímos $ v = 0 $ na equação de $ v(x) $ e resolvemos para $ x $.

Passo 10

Agora, para encontrar $ v(t) $ e $ x(t) $, precisaríamos resolver as equações diferenciais em função do tempo. Isso envolve integrar as equações com relação ao tempo, usando técnicas semelhantes às que usamos para $ v(x) $ e $ x $.

Resposta

A posição máxima atingida pela partícula é:
xmax = m ba^2 ( ln(a v0 + bb) )

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