Uma partícula de massa m está submetida a uma força dada por F(t), que atua durante t=0 até t=2 t0, com F e t0 constantes:
F(t)=ll 2 F, & quando 0 <= t <= t0 2 F(2-tt0), & quando t0 <= t <= 2 t0
Determine a) A velocidade v(2 t0) e b) A distância total percorrida, dada por x(2 t0), se a partícula sai do repouso quando está na origem em t=0. (Valor: 10 ptos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula com massa $ m $ que recebe uma força $ F(t) $ que muda com o tempo. O objetivo é descobrir duas coisas: a velocidade dela depois de um tempo $ 2 t_0 $ e a distância que ela percorreu nesse intervalo. Para isso, vamos usar conceitos de força, aceleração, velocidade e deslocamento. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a força que está agindo na partícula. A força $ F(t) $ é dada de forma diferente em dois intervalos de tempo:
F(t)
Isso significa que a força é constante nos primeiros $ t_0 $ segundos e depois diminui linearmente até $ 2 t_0 $.

Passo 3

Sabemos que a aceleração $ a(t) $ é dada pela segunda Lei de Newton:
a(t)
Então, vamos calcular $ a(t) $ para cada intervalo de tempo.
Para $ 0 \leq t \leq t_0 $:
a(t) = F(t)m
Para $ t_0 \leq t \leq 2 t_0 $:
a(t)

Passo 4

Agora, vamos encontrar a velocidade $ v(t) $ integrando a aceleração em relação ao tempo. A velocidade inicial é zero ($ v(0) = 0 $).
Integrando para $ 0 \leq t \leq t_0 $:
v(t)
Integrando para $ t_0 \leq t \leq 2 t_0 $:
v(0) = 0
Sabemos que $ v(t_0) = \frac{2F}{m} t_0 $. Fazendo a integral:
0 <= t <= t0
Simplificando:
v(t) = integral0^t a(t') dt' = integral0^t 2Fm dt' = 2Fm t

Passo 5

Agora, vamos calcular a velocidade no instante $ t = 2 t_0 $:
t = 2 t0

Passo 6

Para encontrar a distância total percorrida $ x(2 t_0) $, vamos integrar a velocidade em relação ao tempo.
Integrando para $ 0 \leq t \leq t_0 $:
x(2 t0)
Integrando para $ t_0 \leq t \leq 2 t_0 $:
0 <= t <= t0
No instante $ t = 2 t_0 $:
x(t) = integral0^t v(t') dt' = integral0^t 2Fm t' dt' = 2Fm t^22 = F t^2m

Resposta

a) A velocidade $ v(2 t_0) $ é $ \frac{8F t_0}{m} $.
b) A distância total percorrida $ x(2 t_0) $ é $ \frac{F t_0^2}{m} $.

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