Uma partícula de massa
está submetida a uma força dada por
, que atua durante
até
, com
e
constantes:
Determine a) A velocidade
e b) A distância total percorrida, dada por
, se a partícula sai do repouso quando está na origem em
. (Valor: 10 ptos)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula com massa $ m $ que recebe uma força $ F(t) $ que muda com o tempo. O objetivo é descobrir duas coisas: a velocidade dela depois de um tempo $ 2 t_0 $ e a distância que ela percorreu nesse intervalo. Para isso, vamos usar conceitos de força, aceleração, velocidade e deslocamento. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a força que está agindo na partícula. A força $ F(t) $ é dada de forma diferente em dois intervalos de tempo:
Isso significa que a força é constante nos primeiros $ t_0 $ segundos e depois diminui linearmente até $ 2 t_0 $.
Passo 3
Sabemos que a aceleração $ a(t) $ é dada pela segunda Lei de Newton:
Então, vamos calcular $ a(t) $ para cada intervalo de tempo.
Para $ 0 \leq t \leq t_0 $:
Para $ t_0 \leq t \leq 2 t_0 $:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a velocidade $ v(t) $ integrando a aceleração em relação ao tempo. A velocidade inicial é zero ($ v(0) = 0 $).
Integrando para $ 0 \leq t \leq t_0 $:
Integrando para $ t_0 \leq t \leq 2 t_0 $:
Sabemos que $ v(t_0) = \frac{2F}{m} t_0 $. Fazendo a integral:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular a velocidade no instante $ t = 2 t_0 $:
Passo 6
Para encontrar a distância total percorrida $ x(2 t_0) $, vamos integrar a velocidade em relação ao tempo.
Integrando para $ 0 \leq t \leq t_0 $:
Integrando para $ t_0 \leq t \leq 2 t_0 $:
No instante $ t = 2 t_0 $:
Resposta
a) A velocidade $ v(2 t_0) $ é $ \frac{8F t_0}{m} $.
b) A distância total percorrida $ x(2 t_0) $ é $ \frac{F t_0^2}{m} $.