A aceleração de uma partícula é definida pela relação a=-k / x. Determinou-se experimentalmente que v=4,57 m / s quando x=0,18 m e que v=2,13 m / s quando x=0,36 m Determine a posição da partícula na qual sua velocidade é zero.

Passo 1

Beleza, vou resumir o que temos aqui. A matéria é mecânica, mais especificamente movimento com aceleração que depende da posição:
  • A lei dada é a = -kx,
    - Sabemos experimentalmente que quando x1=0,18,m, v1=4,57,m/s, e que quando x2=0,36,m, v2=2,13,m/s.
    - Nosso objetivo é descobrir em que posição xrm stop a velocidade cai a zero ( v=0).
    Para isso a gente vai usar a relação entre aceleração e velocidade em função de x, via a = v,dvdx, e integradas para achar primeiro k e depois xrm stop.

Passo 2

Vamos ligar a(x) com v(x). Sabendo que a = dfracdvdt e também a = v,dvdx,, podemos escrever
v,dv = -kx,dx,
Agora integramos essa expressão entre dois pontos quaisquer (x1,v1) e (x2,v2):
$$\int_{v_1}^{v_2} v,dv = -k\int_{x_1}^{x_2}\frac{dx}{x}
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{1}{2}\bigl(v_2^2 - v_1^2\bigr) = -,k,\ln!\frac{x_2}{x_1},. $$

Passo 3

Com a fórmula acima a gente resolve k. Reescrevendo:
k = v1^2 - v2^22,ln!l(x2/x1r),
Substituindo números:
- v1^2 = (4,57)^2 = 20,8849
- v2^2 = (2,13)^2 = 4,5369
- ln(x2/x1)=ln(0,36/0,18)=ln2approx0,6931
Logo
$$k = \frac{20{,}8849 - 4{,}5369}{2\cdot0{,}6931}
\approx \frac{16{,}3480}{1{,}3862}
\approx 11{,}80
\quad\bigl[unidade dem2/s2\bigr].$$

Passo 4

Agora determinamos onde v=0. Usamos de novo a relação integrada, mas de (x1,v1) até (xrm stop,0):
12l(0^2 - v1^2r) = -,k,ln!xrm stopx1 ;Longrightarrow; -v1^22 = -k,ln!xrm stopx1,
Simplificando:
ln!xrm stopx1 = v1^22,k Longrightarrow xrm stop = x1exp!l(v1^22,kr),
Substituindo x1=0,18,m, v1^2=20,8849 e k=11,80:
xrm stop = 0,18;exp!l(20,88492cdot11,80r) = 0,18;exp(0,8855) approx 0,18 times 2,424 approx 0,436 m

Resposta

A partícula para (velocidade zero) em aproximadamente x = 0,436,m.

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