A aceleração de uma partícula é definida pela relação
. Determinou-se experimentalmente que
quando
e que
quando
Determine a posição da partícula na qual sua velocidade é zero.
Passo 1
Beleza, vou resumir o que temos aqui. A matéria é mecânica, mais especificamente movimento com aceleração que depende da posição:
- A lei dada é
- Sabemos experimentalmente que quandom, m/s, e que quando m, m/s.
- Nosso objetivo é descobrir em que posiçãoa velocidade cai a zero ( ).
Para isso a gente vai usar a relação entre aceleração e velocidade em função de, via , e integradas para achar primeiro e depois .
Passo 2
Vamos ligar
com
. Sabendo que
e também
podemos escrever
Agora integramos essa expressão entre dois pontos quaisquer
$$\int_{v_1}^{v_2} v,dv = -k\int_{x_1}^{x_2}\frac{dx}{x}
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{1}{2}\bigl(v_2^2 - v_1^2\bigr) = -,k,\ln!\frac{x_2}{x_1},. $$
Passo 3
Com a fórmula acima a gente resolve
. Reescrevendo:
Substituindo números:
-
-
-
Logo
$$k = \frac{20{,}8849 - 4{,}5369}{2\cdot0{,}6931}
\approx \frac{16{,}3480}{1{,}3862}
\approx 11{,}80
\approx 11{,}80
\quad\bigl[unidade dem2/s2\bigr].$$
Passo 4
Agora determinamos onde
. Usamos de novo a relação integrada, mas de
até
:
Simplificando:
Substituindo
m,
e
:
Resposta
A partícula para (velocidade zero) em aproximadamente
m.