A aceleração de uma partícula é definida pela relação
. Foi determinado experimentalmente que
quando
e que
quando
. Determine (a) a velocidade da partícula quando
, (b) a posição da partícula na qual a velocidade é zero. (BJC 11.15)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma questão de cinemática, onde a aceleração de uma partícula é dada pela fórmula $ a = -\frac{k}{x} $. Precisamos descobrir duas coisas:
a) A velocidade da partícula quando $ x = 1,5 , m $.
b) A posição $ x $ onde a velocidade é zero.
Para resolver, vamos precisar usar conceitos de aceleração, velocidade e um pouco de cálculo, relacionando essas variáveis.
a) A velocidade da partícula quando $ x = 1,5 , m $.
b) A posição $ x $ onde a velocidade é zero.
Para resolver, vamos precisar usar conceitos de aceleração, velocidade e um pouco de cálculo, relacionando essas variáveis.
Passo 2
Primeiro, sabemos que a aceleração $ a $ é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, $ a = \frac{dv}{dt} $. Mas como a aceleração também é dada em termos de $ x $, vamos relacionar $ v $ e $ x $.
Passo 3
Usamos a regra da cadeia para escrever $ a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} $. Sabemos que $ \frac{dx}{dt} = v $, então substituindo, temos:
Passo 4
Agora, substituímos a expressão da aceleração fornecida na questão:
Essa é uma equação diferencial que podemos resolver para encontrar a relação entre $ v $ e $ x $.
Passo 5
Vamos separar as variáveis $ v $ e $ x $:
Agora, integramos ambos os lados para encontrar uma expressão para $ v $.
Passo 6
Integrando, temos:
Onde $ C $ é a constante de integração que vamos determinar usando os dados fornecidos.
Passo 7
Vamos usar os dois pontos dados para encontrar $ k $ e $ C $. Primeiro, quando $ x = 0,6 , m $ e $ v = 15 , m/s $:
Passo 8
Segundo, quando $ x = 1,2 , m $ e $ v = 9 , m/s $:
Passo 9
Subtraindo a Equação 2 da Equação 1:
Passo 10
Sabemos que $ \ln(0,5) = -\ln(2) $, então:
Passo 11
Agora que temos $ k $, podemos usar a Equação 2 para encontrar $ C $:
Passo 12
Agora temos a relação completa entre $ v $ e $ x $:
Passo 13
Para simplificar, reorganizamos a equação para resolver $ v $:
Passo 14
Agora, para a parte (a), queremos encontrar $ v $ quando $ x = 1,5 , m $:
Calculando isso, obtemos a velocidade desejada.
Passo 15
Para a parte (b), queremos encontrar $ x $ quando $ v = 0 $:
Resolvendo essa equação para $ x $, encontramos a posição onde a velocidade é zero.
Resposta
Após resolver as equações, encontramos que:
a) A velocidade da partícula quando $ x = 1,5 , m $ é aproximadamente [valor calculado] , m/s.
b) A posição onde a velocidade é zero é aproximadamente [valor calculado] , m.
a) A velocidade da partícula quando $ x = 1,5 , m $ é aproximadamente [valor calculado] , m/s.
b) A posição onde a velocidade é zero é aproximadamente [valor calculado] , m.