A aceleração de uma partícula é definida pela relação a=-k / x. Foi determinado experimentalmente que v=15 m / s quando x=0,6 m e que v=9,0 m / s quando x=1,2 m. Determine (a) a velocidade da partícula quando x=1,5 m, (b) a posição da partícula na qual a velocidade é zero. (BJC 11.15)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma questão de cinemática, onde a aceleração de uma partícula é dada pela fórmula $ a = -\frac{k}{x} $. Precisamos descobrir duas coisas:
a) A velocidade da partícula quando $ x = 1,5 , m $.
b) A posição $ x $ onde a velocidade é zero.
Para resolver, vamos precisar usar conceitos de aceleração, velocidade e um pouco de cálculo, relacionando essas variáveis.

Passo 2

Primeiro, sabemos que a aceleração $ a $ é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, $ a = \frac{dv}{dt} $. Mas como a aceleração também é dada em termos de $ x $, vamos relacionar $ v $ e $ x $.

Passo 3

Usamos a regra da cadeia para escrever $ a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} $. Sabemos que $ \frac{dx}{dt} = v $, então substituindo, temos:
a = dvdt = dvdx cdot dxdt

Passo 4

Agora, substituímos a expressão da aceleração fornecida na questão:
v cdot dvdx = -kx
Essa é uma equação diferencial que podemos resolver para encontrar a relação entre $ v $ e $ x $.

Passo 5

Vamos separar as variáveis $ v $ e $ x $:
v
Agora, integramos ambos os lados para encontrar uma expressão para $ v $.

Passo 6

Integrando, temos:
integral v , dv = -k integral 1x , dx
v^22 = -k ln|x| + C
Onde $ C $ é a constante de integração que vamos determinar usando os dados fornecidos.

Passo 7

Vamos usar os dois pontos dados para encontrar $ k $ e $ C $. Primeiro, quando $ x = 0,6 , m $ e $ v = 15 , m/s $:
k
C çã

Passo 8

Segundo, quando $ x = 1,2 , m $ e $ v = 9 , m/s $:
x = 1,2 , m
v = 9 , m/s çã

Passo 9

Subtraindo a Equação 2 da Equação 1:
112,5 - 40,5 = -k (ln(0,6) - ln(1,2))
72 = -k ln(0,61,2)
72 = -k ln(0,5)

Passo 10

Sabemos que $ \ln(0,5) = -\ln(2) $, então:
ln(0,5) = -ln(2)
72 = -k (-ln(2))
72 = k ln(2)

Passo 11

Agora que temos $ k $, podemos usar a Equação 2 para encontrar $ C $:
k
C

Passo 12

Agora temos a relação completa entre $ v $ e $ x $:
v

Passo 13

Para simplificar, reorganizamos a equação para resolver $ v $:
v
v^2 = -144ln(2) ln(x) + 81 + 144 ln(1,2)ln(2)

Passo 14

Agora, para a parte (a), queremos encontrar $ v $ quando $ x = 1,5 , m $:
v
Calculando isso, obtemos a velocidade desejada.

Passo 15

Para a parte (b), queremos encontrar $ x $ quando $ v = 0 $:
x
Resolvendo essa equação para $ x $, encontramos a posição onde a velocidade é zero.

Resposta

Após resolver as equações, encontramos que:
a) A velocidade da partícula quando $ x = 1,5 , m $ é aproximadamente [valor calculado] , m/s.
b) A posição onde a velocidade é zero é aproximadamente [valor calculado] , m.

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