A aceleração de uma partícula é definida pela relação a=k t^2. (a) Sabendo que v=-32 m / s quanto t=0 e que v=+32 m / s quanto t=4 s, determine a constante k . (b) Escreva a equação do movimento, sabendo que x=0 quando t=4 s. (BJC 11.12)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma partícula cuja aceleração é dada pela fórmula $ a = k t^{2} $, onde $ k $ é uma constante que precisamos descobrir. Além disso, sabemos que a velocidade $ v $ da partícula é a = k t^2 quando $ t = 0 $ e $ +32 , m/s $ quando $ t = 4 , s $. O conteúdo aqui envolve cinemática, especificamente as relações entre aceleração, velocidade e posição. Para resolver isso, vamos precisar integrar a aceleração para encontrar a velocidade e depois usar as condições fornecidas para determinar $ k $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Portanto, para encontrar a velocidade $ v(t) $, precisamos integrar a aceleração:
v(t)

Passo 3

Integrando $ k t^{2} $ em relação ao tempo, temos:
k t^2
Aqui, $ C $ é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.

Passo 4

Sabemos que quando $ t = 0 $, a velocidade $ v = -32 , m/s $. Vamos usar isso para encontrar $ C $:
t = 0
Então, a equação da velocidade fica:
v = -32 , m/s

Passo 5

Agora, usamos a segunda condição fornecida: quando $ t = 4 , s $, $ v = +32 , m/s $. Substituindo esses valores na equação da velocidade:
t = 4 , s

Passo 6

Vamos resolver para $ k $:
k
Multiplicando ambos os lados por 3:
32 + 32 = k cdot 643 implies 64 = 64k3

Passo 7

Então, descobrimos que a constante $ k = 3 $.

Passo 8

Agora, para a parte (b), precisamos encontrar a equação do movimento $ x(t) $, sabendo que $ x = 0 $ quando $ t = 4 , s $. Primeiro, vamos integrar a velocidade para encontrar a posição.
x(t)

Passo 9

Integrando $ t^{3} - 32 $ em relação ao tempo:
t^3 - 32
Aqui, $ D $ é outra constante de integração que vamos determinar usando a condição $ x = 0 $ quando $ t = 4 , s $.

Passo 10

Substituindo $ t = 4 $ e $ x = 0 $ na equação:
t = 4
x = 0

Passo 11

Portanto, a equação do movimento é:
x(t) = t^44 - 32t + 64

Resposta

A constante $ k $ vale 3. A equação do movimento é:
k

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