A aceleração de uma partícula é definida pela relação
. (a) Sabendo que
quanto
e que
quanto
, determine a constante k . (b) Escreva a equação do movimento, sabendo que
quando
. (BJC 11.12)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma partícula cuja aceleração é dada pela fórmula $ a = k t^{2} $, onde $ k $ é uma constante que precisamos descobrir. Além disso, sabemos que a velocidade $ v $ da partícula é
quando $ t = 0 $ e $ +32 , m/s $ quando $ t = 4 , s $. O conteúdo aqui envolve cinemática, especificamente as relações entre aceleração, velocidade e posição. Para resolver isso, vamos precisar integrar a aceleração para encontrar a velocidade e depois usar as condições fornecidas para determinar $ k $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Portanto, para encontrar a velocidade $ v(t) $, precisamos integrar a aceleração:
Passo 3
Integrando $ k t^{2} $ em relação ao tempo, temos:
Aqui, $ C $ é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.
Passo 4
Sabemos que quando $ t = 0 $, a velocidade $ v = -32 , m/s $. Vamos usar isso para encontrar $ C $:
Então, a equação da velocidade fica:
Passo 5
Agora, usamos a segunda condição fornecida: quando $ t = 4 , s $, $ v = +32 , m/s $. Substituindo esses valores na equação da velocidade:
Passo 6
Vamos resolver para $ k $:
Multiplicando ambos os lados por 3:
Passo 7
Então, descobrimos que a constante $ k = 3 $.
Passo 8
Agora, para a parte (b), precisamos encontrar a equação do movimento $ x(t) $, sabendo que $ x = 0 $ quando $ t = 4 , s $. Primeiro, vamos integrar a velocidade para encontrar a posição.
Passo 9
Integrando $ t^{3} - 32 $ em relação ao tempo:
Aqui, $ D $ é outra constante de integração que vamos determinar usando a condição $ x = 0 $ quando $ t = 4 , s $.
Passo 10
Substituindo $ t = 4 $ e $ x = 0 $ na equação:
Passo 11
Portanto, a equação do movimento é:
Resposta
A constante $ k $ vale 3. A equação do movimento é: